Zadanie nr 5234525

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie x 2 + 2mx − 2m + 3 = 0 ma dwa różne pierwiastki należące do przedziału (− 2,0) .

Rozwiązanie

Sprawdźmy najpierw, kiedy równanie ma dwa różne pierwiastki.

2 0 < Δ = 4m + 8m − 12 / : 4 0 < m 2 + 2m − 3 Δ = 4 + 1 2 = 16 −-2−--4 −-2+--4 m1 = 2 = − 3, m2 = 2 = 1 m ∈ (− ∞ ,− 3) ∪ (1,+ ∞ ).

Zastanówmy się teraz jak zapisać informację o tym, że oba pierwiastki są w przedziale (− 2,0) . Na pewno wierzchołek paraboli musi być w tym przedziale (bo znajduje się w środku między pierwiastkami). Zatem

-b- − 2a ∈ (− 2,0) − m ∈ (− 2,0) m ∈ (0,2).

W połączeniu z warunkiem na -ę daje to m ∈ (1,2) .

To jednak nie koniec, bo nawet jak wierzchołek jest w przedziale (− 2,0) to pierwiastki mogą być na zewnątrz tego przedziału. Aby tak nie było, wartości funkcji w końcach przedziału muszą być dodatnie – wiemy już, że wartość w wierzchołku jest ujemna (warunek z -ą), więc w takiej sytuacji pierwiastki będą musiały być w przedziale .