Zadanie nr 6188001

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie

2 2 9x + (6m + 9)x + m + 3m − 10 = 0

ma dwa różne ujemne rozwiązania x1,x 2 spełniające nierówność x12+ x 22 ≤ 695 .

Rozwiązanie

Sprawdźmy najpierw kiedy podane równanie ma dwa pierwiastki.

2 2 0 < Δ = (6m + 9 ) − 3 6(m + 3m − 10) = = 36m 2 + 108m + 81− 36m 2 − 108m + 360 = 44 1.

Skorzystamy teraz ze wzorów Viète’a.

−-(6m-+--9) 2m--+-3 x 1 + x 2 = 9 = − 3 2 x x 2 = m--+--3m-−-1-0 = (m--+-5)(m-−--2). 1 9 9

Oba pierwiastki będą ujemne, gdy

{ 2m +3 2m+ 3 3 0 > x1 + x2 = − -3--- ⇐ ⇒ --3--> 0 ⇐ ⇒ m > − 2 0 < x x = (m+5)(m−-2)- ⇐ ⇒ m ∈ (− ∞ ,− 5) ∪ (2,+ ∞ ). 1 2 9

Zatem pierwiastki są ujemne, gdy

m ∈ (2,+ ∞ ).

Pozostało rozwiązać nierówność

( ) 2 2 65-≥ x2+ x2 = (x + x )2 − 2x x = 2m-+-3- − 2m--+-6m--−-20- / ⋅9 9 1 2 1 2 1 2 3 9 2 2 2 65 ≥ 4m + 1 2m + 9 − 2m − 6m + 20 = 2m + 6m + 29 / : 2 0 ≥ m 2 + 3m − 18.

Rozwiązujemy otrzymaną nierówność kwadratową

Δm = 9+ 7 2 = 81 −3-−-9- −-3-+-9 m = 2 = − 6 lub m = 2 = 3 m ∈ ⟨− 6,3⟩.

Łącząc ten warunek z warunkiem otrzymanym z ujemności pierwiastków, mamy

m ∈ (2 ,3⟩.

Odpowiedź: m ∈ (2,3⟩