Zadanie nr 6189445

Dla jakich wartości parametru m ∈ R suma odwrotności kwadratów dwóch różnych miejsc zerowych funkcji f(x) = x2 + (m + 1)x + 3 − m jest większa od 1?

Rozwiązanie

Najpierw sprawdźmy, kiedy równanie ma dwa różne rozwiązania

2 2 2 0 < Δ = (m + 1) − 4(3√ −-m ) = m + 2m + 1− 1 2+ 4m = m + 6m − 11 Δ = 36 + 4 4 = 80 = (4 5)2 √ -- √ -- −-6−--4--5- √ -- −-6+--4--5- √ -- m1 = 2 = − 3 − 2 5 , m 2 = 2 = −3 + 2 5 √ -- √ -- m ∈ (− ∞ ,− 3 − 2 5) ∪ (− 3+ 2 5,+ ∞ ) ≈ (− ∞ ; − 7,5)∪ (1 ,5 ; + ∞ ).

Teraz pozostało rozwiązać nierówność

1-- -1- x21-+-x22- (x1 +-x2)2 −-2x1x2- 1 < x2+ x2 = x 2x 2 = (x x )2 , 1 2 1 2 1 2

ale zanim to zrobimy zapiszmy wzory Viète’a.

{ x1 + x2 = − (m + 1) x1x2 = 3 − m .

Mamy więc

(x + x )2 − 2x x (m + 1)2 − 2 (3− m) 1 < --1----2-------1-2-= --------------------- (x 1x2)2 (3− m )2 m 2 + 2m + 1 − 6 + 2m 0 < --------------2--------− 1 (3− m) m 2 + 4m − 5 − (9 − 6m + m 2) 0 < ------------------2----------- (3 − m ) 0 < (10m − 14)(3− m )2 / : 10 ( 7 ) 0 < m − -- (3− m )2 ( 5) 7 m ∈ -,3 ∪ (3,+ ∞ ). 5

W połączeniu z warunkiem na -ę otrzymujemy stąd

√ -- m ∈ (− 3+ 2 5,3)∪ (3 ,+∞ ).

Odpowiedź: √ -- m ∈ (− 3+ 2 5,3) ∪ (3,+ ∞ )