Zadanie nr 6468003

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których jedno rozwiązanie równania

(m + 2)x2 + 2mx + 1 = 0

jest sinusem, a drugie cosinusem tego samego kąta?

Rozwiązanie

Jeżeli równanie ma mieć dwa rozwiązania to musi kwadratowe, czyli musi być m ⁄= − 2 .

Dwie liczby rzeczywiste i są postaci a = sin α i b = cosα dla pewnego , wtedy i tylko wtedy gdy a2 + b 2 = 12 (jedynka trygonometryczna).

Aby sprawdzić, kiedy pierwiastki podanego równania spełniają taki warunek, korzystamy ze wzorów Viète’a.

2 2 2 1 = x 1 + x 2 = (x1 + x2) − 2x1x2 = ( 2m ) 2 2 1 = − ------ − ------ / ⋅(m + 2)2 m + 2 m + 2 (m + 2)2 = 4m 2 − 2(m + 2) m 2 + 4m + 4 = 4m 2 − 2m − 4 2 0 = 3m − 6m − 8 √ --- Δ = 36+ 96 = 13 2 = 2 33 √ --- √ --- √ --- √ --- 6-−-2--33- 3-−---33- 6+--2--33- 3+----33- m = 6 = 3 lub m = 6 = 3 .

To jeszcze nie koniec, bo musimy sprawdzić, czy dla tych wartości równanie rzeczywiście ma dwa pierwiastki. Rozwiązujemy nierówność:

Δ > 0 (2m )2 − 4(m + 2) > 0 2 4m − 4m − 8 > 0 / : 4 m2 − m − 2 > 0 Δ = 1 + 8 = 9 1− 3 1+ 3 m = ------= − 1 ∨ m = ------= 2 2 2 m ∈ (− ∞ ,− 1) ∪ (2,+ ∞ ).

Ponieważ 3− √33 --3---≈ −0 ,9 i 3+√ 33 --3---≈ 2,9 tylko dla drugiej z tych liczb równanie ma dwa rozwiązania.
Odpowiedź: √-- m = 3+--33 3