Zadanie nr 7105849

Wyznacz te wartości parametru , dla których równanie 2 x + mx + 9 = 0 ma dwa rozwiązania mniejsze od − 1 .

Rozwiązanie

Sprawdźmy najpierw kiedy podane równanie ma dwa rozwiązania.

2 0 < Δ = m − 4 ⋅9 = (m − 6)(m + 6) ⇒ m ∈ (−∞ ,− 6) ∪ (6,+ ∞ ).

Sposób I

Rozwiązania będą mniejsze od − 1 , jeżeli wierzchołek paraboli będącej wykresem podanego trójmianu będzie na lewo od − 1 i wartość w − 1 będzie dodatnia (bo warunki te gwarantują, że na prawo od − 1 nie ma pierwiastków). Zatem

{ −m- − 1 > xw = 2 0 < f (− 1) = 1− m + 9 { m > 2 m < 10.

Łącząc wszystkie z otrzymanych warunków, mamy m ∈ (6,10 ) .

Sposób II

Wystarczy sprawdzić, kiedy większy z pierwiastków jest na lewo od − 1 . Liczymy

√ -- −b + Δ ---------- < − 1 2a √ -------- −m---+---m-2 −-36 2 < − 1 /⋅ 2 ∘ --2----- ∘−-m-+----m − 36 < − 2 m 2 − 36 < m − 2.

Chcielibyśmy teraz podnieść tę nierówność do kwadratu, ale aby móc to zrobić musimy założyć, że prawa strona jest nieujemna, czyli że m ≥ 2 (jeżeli tak nie jest to nierówność jest sprzeczna).

∘ -------- m 2 − 36 < m − 2 /()2 2 2 m − 36 < m − 4m + 4 4m < 40 / : 4 m < 10

Łącząc wszystkie otrzymane warunki otrzymujemy rozwiązanie: m ∈ (6,10) .

Sposób III

Jeżeli pierwiastki x1,x2 danego równania mają być mniejsze od − 1 , to liczby x1 + 1 i x 2 + 1 muszą być obie ujemne. Tak jest wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn jest dodatni, a suma ujemna.

{ 0 < (x1 + 1)(x 2 + 1) = x1x2 + (x1 + x2)+ 1 0 > (x1 + 1) + (x2 + 1) = (x 1 + x 2)+ 2.

Korzystamy teraz ze wzorów Viète’a.

{ x + x = −m 1 2 x1x2 = 9.

Musimy więc rozwiązać układ nierówności

{ 0 < 9 − m + 1 ⇐ ⇒ m < 1 0 0 > −m + 2 ⇐ ⇒ m > 2

Łącząc wszystkie otrzymane warunki otrzymujemy rozwiązanie: m ∈ (6,10) .

Sposób IV

Jeżeli ktoś nie boi się pochodnych, to warunek z treści zadania można zapisać jako f (−1 ) > 0 i ′ f (− 1) > 0 – funkcja ma być rosnąca w otoczeniu − 1 (czyli jesteśmy na prawej połówce paraboli). Warunek prowadzi do nierówności