Zadanie nr 8620539

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie x 2 + mx − 2m = 0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x1,x2 spełniające warunek (x31 − x32)(x21 − x22) = 7m 2 .

Rozwiązanie

Sprawdzamy najpierw, kiedy równanie ma dwa różne pierwiastki

2 0 < Δ = m + 8m = m(m + 8) ⇐ ⇒ m ∈ (− ∞ ,− 8) ∪ (0,+ ∞ ).

Przy tym założeniu możemy napisać wzory Viète’a.

{ x1 + x2 = −m x1x2 = − 2m .

Spróbujemy teraz przekształcić lewą stronę podanej równości, tak aby móc skorzystać ze wzorów Viète’a. Zrobimy to na dwa sposoby.

Sposób I

Zauważmy, że

2 2 3 3 2 2 (x1 − x2)(x1 − x2)( = (x 1 − x 2)(x 1 + x) 2)(x1 − x2)(x1 + x1x2 + x2) = = −m (x − x )2 (x + x )2 − x x = −m (x2 + x 2− 2x x )(m 2 + 2m ) = 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 = −m 2((x + x )2 − 4x x )(m + 2) = −m 2(m 2 + 8m )(m + 2). 1 2 1 2

Pozostało teraz rozwiązać równanie

−m 2(m 2 + 8m )(m + 2 ) = 7m 2.

Oczywiście jednym z rozwiązań jest m = 0 , ale liczba ta nie spełnia warunku z -ą, więc możemy założyć, że m ⁄= 0 i podzielić równanie stronami przez 2 m .

7 = − (m2 + 8m )(m + 2) = −m 3 − 10m 2 − 1 6m m3 + 10m 2 + 16m + 7 = 0.

Szukamy teraz wymiernych pierwiastków tego równania – sprawdzamy dzielniki wyrazu wolnego. Jednym z pierwiastków jest m = − 1 , więc dzielimy wielomian z lewej strony przez m + 1 . My zrobimy to grupując wyrazy.