Zadanie nr 9590664

Znajdź te wartości parametru dla których funkcja 2 f (x) = x + mx + 9 ma dwa miejsca zerowe większe od 2.

Rozwiązanie

Sprawdźmy najpierw, kiedy podana funkcja ma dwa miejsca zerowe.

2 0 < Δ = m − 36 = (m − 6)(m + 6) ⇒ m ∈ (− ∞ ,−6 )∪ (6,∞ ).

Sposób I

Ponieważ wykresem podanej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w górę, podany warunek będzie spełniony, gdy wierzchołek paraboli będzie na prawo od 2 i f(2) > 0 (bo warunki te gwarantują, że na lewo od 2 nie ma pierwiastków). Drugi z warunków oznacza 4 + 2m + 9 > 0 , czyli 13 m > − 2 . Pierwszy natomiast daje

−m 2 < xw = ---- ⇒ m < − 4. 2

Łącząc wszystkie otrzymane nierówności otrzymujemy 13 m ∈ (− 2 ,− 6) .

Sposób II

Wystarczy sprawdzić, kiedy mniejszy z pierwiastków jest na prawo od 2. Liczymy

√ -- −b--−---Δ- 2a > 2 √ --2----- −m---−---m--−--36 > 2 / ⋅2 2∘ -------- − m − m 2 − 3 6 > 4 ∘ -------- − m − 4 > m 2 − 36

Chcielibyśmy teraz podnieść tę nierówność do kwadratu, ale aby móc to zrobić musimy założyć, że lewa strona jest nieujemna, czyli, że m ≤ − 4 (jeżeli tak nie jest to nierówność jest sprzeczna).

∘ -------- 2 − m − 4 > m 2 − 3 6 /() m 2 + 8m + 16 > m2 − 36 52- 13- 8m > − 52 ⇒ m > − 8 = − 2 .

Łącząc wszystkie otrzymane warunki otrzymujemy rozwiązanie: m ∈ (− 123,− 6) .

Sposób III

Jeżeli pierwiastki x1,x2 danego równania mają być większe od 2, to liczby x1 − 2 i x 2 − 2 muszą być obie dodatnie. Tak jest wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn i suma są dodatnie.

{ 0 < (x1 − 2)(x2 − 2) = x1x2 − 2(x 1 + x 2) + 4 0 < (x1 − 2)+ (x 2 − 2 ) = (x1 + x2)− 4.

Korzystamy teraz ze wzorów Viète’a.

{ x + x = −m 1 2 x1x2 = 9.

Musimy więc rozwiązać układ nierówności

{ 0 < 9 + 2m + 4 ⇐ ⇒ − 132-< m 0 < −m − 4 ⇐ ⇒ m < − 4

Łącząc wszystkie otrzymane warunki otrzymujemy rozwiązanie: m ∈ (− 123,− 6) .

Sposób IV

Jeżeli ktoś nie boi się pochodnych, to warunek z treści zadania można zapisać jako f (2) > 0 i f′(2) < 0 – funkcja ma być malejąca w otoczeniu 2 (czyli jesteśmy na lewej połówce paraboli). Warunek f(2) > 0 prowadzi do nierówności