W trapez ABCD, gdzie AB CD i |AB|>|CD|, wpisano okrąg (patrz... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Różne, 2575707

Forum

Trapez

Zadanie nr 2575707

W trapez $ABCD$ , gdzie $AB ∥ CD$ i $|AB | > |CD |$ , wpisano okrąg (patrz rysunek).

Dwusieczna kąta ostrego przy wierzchołku $A$ jest prostopadła do ramienia $|BC |$ .

Wykaż, że dwusieczna kąta przy wierzchołku $D$ jest równoległa do ramienia $BC$ .
Oblicz $|BC | : |DC |$ .

Rozwiązanie

Niech $S$ będzie środkiem okręgu wpisanego w trapez.

Dorysujmy odcinek $DS$ i oznaczmy $∡B = α$ . Z trójkąta prostokątnego $ABE$ mamy $∘ ∡BAE = 9 0 − α.$
Ponieważ promień $DS$ jest zawarty w dwusiecznej kąta $D$ mamy
$1- 1- ∘ 1- ∘ ∘ ∡SDC = 2 ∡D = 2(180 − ∡A ) = 2(1 80 − 2 ∡BAE ) = 90 − ∡BAE = α.$
Zatem odcinki $DS$ i $CB$ tworzą takie same kąty z równoległymi prostymi $AB$ i $CD$ . Są więc równoległe.
Przedłużmy promień $DS$ do jego przecięcia $F$ z podstawą $AB$ . Z poprzedniego podpunkty wiemy, że czworokąt $DF BC$ jest równoległobokiem. Znamy ponadto długości dwóch jego wysokości: $SE = r$ i $CG = 2r$ , gdzie $r$ jest długością promienia okręgu wpisanego. Licząc pole równoległoboku $DF BC$ na dwa sposoby otrzymujemy $CD ⋅CG = P = BC ⋅SE DFBC CD ⋅2r = BC ⋅r BC 2r ----= ---= 2. DC r$

Odpowiedź: 2

Twoje uwagi

Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!