/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria/Trapez/Różne

Zadanie nr 8643614

Ramiona trapezu są średnicami dwóch okręgów. Wykaż, że jeśli okręgi te są styczne zewnętrznie, to w trapez ten można wpisać okrąg.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.


PIC


Ponieważ punkt styczności dwóch stycznych okręgów leży na prostej łączącej ich środki, to odcinek O 1O2 jest odcinkiem łączącym środki ramion trapezu i ma długość r + r 1 2 . Łątwo wykazać, że w dowolnym trapezie długość tego odcinka jest średnią arytmetyczną równoległych podstaw. Zatem

AB + DC = 2O 1O 2 = 2(r1 + r2) = 2r1 + 2r2 = AD + BC .

Równość ta jest warunkiem wystarczającym do tego, żeby w czworokąt ABCD można było wpisać okrąg.

Wersja PDF
spinner