/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria/Kwadrat

Zadanie nr 3508721

W kwadrat ABCD o boku długości 2a wpisano okrąg. Oblicz długość cięciwy wyciętej przez ten okrąg z odcinka łączącego wierzchołek A ze środkiem boku CD .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zacznijmy od rysunku.

PIC

Sposób I

Trójkąt AP Q jest prostokątny oraz P R jest jego wysokością (kąt PRQ jest oparty na średnicy). W takim razie trójkąty AP Q i PRQ są podobne i mamy

RQ-- PQ-- P Q = AQ 2 2 √ -- RQ = P-Q--= √--4a------= 4√a--= 4a--5. AQ a2 + 4a2 5 5

Sposób II

Stosujemy twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym ADQ .

∘ ------------- ∘ --------- √ -- AQ = AD 2 + DQ 2 = 4a 2 + a2 = a 5.

Na mocy twierdzenia o siecznych, mamy

2 AR ⋅AQ√ -= AP AR ⋅a 5 = a2 √ -- √a-- a--5- AR = 5 = 5 -- √ -- √ -- RQ = AQ − AR = a√ 5 − a---5 = 4a---5. 5 5

Sposób III

Tak jak poprzednio obliczamy √ -- AQ = a 5 . Odcinek RP jest wysokością w trójkącie AP Q , więc

AQ ⋅RP = 2PAPQ = AP ⋅P Q √ -- √ -- 2a 2 2a 5 a 5 ⋅RP = a ⋅2a ⇒ RP = -√---= -----. a 5 5

Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie PQR .

∘ ------------ ∘ ----------2 ∘ ---2- √ -- RQ = PQ 2 − RP 2 = 4a 2 − 20a--= 80a--= 4a--5-. 25 25 5

 
Odpowiedź: √ - 4a--5 5

Wersja PDF