Zadanie nr 6245989

Z talii 52 kart w czterech kolorach wybieramy losowo 2 karty. Oblicz prawdopodobieństwo, że wybrane karty to król i as, przy założeniu, że wybrane karty mają różne kolory.

Rozwiązanie

Dwie karty możemy wybrać z talii na

( 52) 52 ⋅51 |Ω | = = -------= 26⋅5 1 2 2

sposobów.

Oznaczmy przez zdarzenie polegające na wybraniu króla i asa, a przez zdarzenie polegające na wybraniu kart w różnych kolorach. Musimy więc obliczyć

P (A ∩ B ) P (A |B ) = ----------. P(B )

Ponieważ w talii są 4 króle i 4 asy, jest

4 ⋅3 = 12

zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A ∩ B (na 4 sposoby możemy wybrać króla i na 3 sposoby możemy wybrać asa w innym kolorze niż król).

Prawdopodobieństwo zdarzenia obliczymy na kilka sposobów.

Sposób I

Jeżeli chcemy wybrać dwie karty w różnych kolorach, to najpierw wybieramy te dwa kolory – możemy to zrobić na

( ) 4 = 4⋅-3 = 6 2 2

sposobów. Potem wybieramy po jednej karcie w każdym z tych kolorów, co w sumie daje nam

6⋅13 ⋅13

różnych możliwości.

Interesujące nas prawdopodobieństwo jest więc równe

P (A ∩ B ) -12- 2 2 P (A |B ) = ----------= -26⋅51- = -------= ----. P (B) 6⋅2163⋅⋅5113 13⋅1 3 1 69

Sposób II

Jeżeli chcemy wybrać dwie karty w różnych kolorach, to pierwszą kartę wybieramy dowolnie, a drugą wybieramy tak, aby nie była w tym samym kolorze – możemy to zrobić na

52⋅ (52− 13) = 52 ⋅39

sposobów. Ten rachunek jest jednak błędny, bo każdą parę kart policzyliśmy dwa razy – aby go poprawić musimy wynik podzielić przez 2. Jest więc

52-⋅39-= 26 ⋅39 2

możliwości wybrania dwóch kart w różnych kolorach.

Interesujące nas prawdopodobieństwo P (A|B ) obliczamy tak samo jak w poprzednim sposobie.

Sposób III

Tym razem zamiast obliczyć liczbę zdarzeń sprzyjających zdarzeniu obliczymy liczbę zdarzeń sprzyjających zdarzeniu przeciwnemu , tzn. zdarzeniu, w którym wybraliśmy dwie karty w tym samym kolorze. Dwie karty w tym samym kolorze możemy wybrać na