Zadanie nr 9514432

Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że w czterokrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry otrzymamy co najmniej jedną „czwórkę”, pod warunkiem że otrzymamy co najmniej jedną „piątkę”.

Rozwiązanie

Za zdarzenia elementarne przyjmijmy uporządkowane czwórki wylosowanych oczek. Mamy więc

|Ω | = 6⋅6 ⋅6 ⋅6 = 64.

Niech oznacza zdarzenie polegające na otrzymaniu co najmniej jednej czwórki, a zdarzenie polegające na otrzymaniu co najmniej jednej piątki. Musimy obliczyć

P (A ∩ B ) P (A |B ) = ----------. P(B )

Prawdopodobieństwo zdarzenia łatwo obliczyć jeżeli przejdziemy do zdarzenia przeciwnego ′ B .

Zdarzenia sprzyjające B ′ , to takie, w których na żadnej z kostek nie ma piątki. Jest więc 5⋅5 ⋅5 ⋅5 = 54 takich zdarzeń i

′ 54- 1296-−-6-25 6-71 P (B) = 1 − P (B ) = 1 − 64 = 6 4 = 64 .

Zdarzenia sprzyjające zdarzeniu A ∩ B (czyli otrzymaniu co najmniej jednej czwórki i co najmniej jednej piątki) możemy podzielić na 7 typów:
– wylosowaliśmy 3 czwórki i 1 piątkę – są cztery takie zdarzenia (piątkę możemy otrzymać na jednej z czterech kostek);
– wylosowaliśmy 1 czwórkę i 3 piątki – są cztery takie zdarzenia (czwórkę możemy otrzymać na jednej z trzech kostek);
– wylosowaliśmy 2 czwórki, 1 piątkę i jedną liczbę różną od 4 i 5 – takich zdarzeń jest

4⋅ 4⋅3 = 48

(na 4 sposoby wybieramy miejsce piątki, na 4 sposoby wybieramy liczbę różną od 4 i 5 i na 3 sposoby wybieramy jej miejsce, na pozostałych miejscach nie mamy już wyboru – wpisujemy tam czwórki).
– wylosowaliśmy 1 czwórkę, 2 piątki i jedną liczbę różną od 4 i 5 – takich zdarzeń jest dokładnie tyle samo, co w poprzednim punkcie, czyli

4⋅ 4⋅3 = 48

– wylosowaliśmy 1 czwórkę, 1 piątkę i 2 takie same liczby różne od 4 i 5 – takich zdarzeń jest

4⋅ 3⋅4 = 48

(na 4 sposoby wybieramy miejsce czwórki, na 3 sposoby miejsce piątki i na 4 sposoby dobieramy pozostałe dwie równe liczby)
– wylosowaliśmy 1 czwórkę, 1 piątkę i 2 różne liczby, które są różne od 4 i 5 – takich zdarzeń jest

4 ⋅3⋅4 ⋅3 = 144

(na 4 sposoby wybieramy miejsce dla piątki, na 3 sposoby miejsce dla czwórki i na 4 ⋅3 sposoby wybieramy pozostałe dwie różne liczby)
– wylosowaliśmy 2 czwórki i 2 piątki – takich zdarzeń jest