Zadanie nr 5928397

W okrąg o równaniu 2 2 (x− 1) + (y− 2) = 25 wpisano trójkąt ABC . Bok tego trójkąta jest zawarty w prostej o równaniu 4x − 3y + 2 = 0 . Wysokość tego trójkąta dzieli bok tak, że |AD | = 4⋅|DB | . Oblicz pole trójkąta ABC .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Dany okrąg to okrąg o środku S = (1,2) i promieniu r = 5 . Szkicujemy opisaną sytuację.

ZINFO-FIGURE

Sposób I

Jeżeli w miarę dokładnie wykonamy rysunek, to możemy nabrać podejrzeń, że dana prosta przechodzi przez środek danego okręgu. Łatwo sprawdzić, że faktycznie tak jest – wystarczy podstawić współrzędne punktu do równania prostej:

4 ⋅1 − 3 ⋅2+ 2 = 0.

W szczególności, odcinek jest średnicą okręgu, czyli

AB = 2r = 1 0.

Wiemy też, że punkt dzieli odcinek w stosunku 4:1, więc

AD = 4AB = 8 5 1- BD = 5AB = 2.

Kąt ACB jako kąt oparty na średnicy jest prosty (są dwa możliwe położenia punktów i i są cztery możliwe położenia punktu , ale nie ma to wpływu na samo rozwiązanie), więc trójkąt ABC jest prostokątny, a jest spodkiem wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną. Korzystamy teraz ze znanego faktu, że ta wysokość jest średnią geometryczną długości odcinków, na które podzieliła przeciwprostokątną. Mamy zatem

√ --------- √ ---- CD = AD ⋅DB = 8⋅ 2 = 4.

Pole trójkąta ABC jest więc równe

P = 1AB ⋅CD = 1-⋅10⋅ 4 = 20. ABC 2 2

Sposób II

Jeżeli nie zauważyliśmy, że punkt leży na prostej , to żaden dramat – zaczynamy od wyznaczenia współrzędnych punktów i . Podstawiamy

4- 2- y = 3x + 3

do równania okręgu.

( ) 2 ( ) 2 25 = (x− 1)2 + 4-x+ 2-− 2 = (x − 1)2 + 4-x− 4- 3 3 3 3 16 25 9 25 = (x− 1)2 + --(x − 1)2 = ---⋅(x − 1)2 / ⋅ --- 2 9 9 25 9 = (x− 1) .

Stąd

x− 1 = − 3 lub x − 1 = 3 x = − 2 lub x = 4.

Stąd 4 2 3x + 3 = −2 i 4 2 y = 3x + 3 = 6 odpowiednio. To oznacza, że punkty i mają współrzędne (− 2,− 2) i (4,6) , przy czym nie wiemy, w jakiej kolejności. Zauważmy jednak, że wybór współrzędnych punktu nie ma wpływu na wartość obliczonego pola trójkąta ABC , bo obie sytuacje różnią się o symetrię osiową względem prostej prostopadłej do i przechodzącej przez punkt . Możemy więc bez zmniejszania ogólności założyć, że A = (−2 ,−2 ) i B = (4,6) . Obliczmy długość odcinka (ta długość jest nam potrzebna do obliczenia pola trójkąta ABC ).

∘ ------------------- √ -------- √ ---- AB = (4 + 2)2 + (6 + 2)2 = 3 6+ 8 4 = 100 = 10.

Ponieważ AB = 2r = 10 , po raz kolejny mamy okazję zauważyć, że jest średnicą okręgu. Możemy wtedy tak samo jak w sposobie I obliczyć pole trójkąta ABC bez wyznaczania współrzędnych punktu .

Przyjmijmy jednak, że nadal nie zauważyliśmy, że trójkąt ABC jest prostokątny. W takiej sytuacji – zmierzamy w kierunku wyznaczenia współrzędnych punktu . Najpierw jednak wyznaczmy współrzędne punktu D = (xD ,yD ) – najprościej to zrobić przy użyciu wektorów.

−→ −→ AD = 4AB = 4[4+ 2,6+ 2] [5 ]5 24 3 2 [xD + 2,yD + 2] = 5-,-5- .

Mamy stąd

{ 24 14 xD = 5 − 2 = 5 yD = 32− 2 = 22 5 5

i ( 14- 22) D = 5 ,5 . Piszemy teraz równanie prostej – jest ona prostopadła do prostej , więc ma równanie postaci

3- y = − 4x + b.

Współczynnik wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu .

22 3 14 22 2 1 13 ---= − -⋅ ---+ b ⇒ b = ---+ --- = ---. 5 4 5 5 1 0 2

Prosta ma więc równanie y = − 3x + 13 4 2 .

Szukamy teraz punktów wspólnych prostej i danego okręgu (czyli wyznaczamy możliwe współrzędne punktu ). Podstawiamy 3 13 y = − 4x + -2 do równania okręgu.