/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Trójkąt/Dowolny

Zadanie nr 6415120

Punkty P (− 2,− 2) , Q (1,− 2) i R(− 2,4 ) są środkami boków AB , BC i AC trójkąta ABC . Oblicz:

  • Współrzędne wierzchołków trójkąta ABC .
  • Obwód trójkąta ABC .
Wersja PDF

Rozwiązanie

  •  

    Sposób I

    Zacznijmy od szkicowego rysunku.

    PIC

    Niech A = (x ,y ) A A , B = (x ,y ) B B , C = (x ,y ) C C . Korzystając ze wzoru na współrzędne środka odcinka o końcach M (p,q) i N = (r,s)

    ( ) p-+--r q+--s 2 , 2 ,

    otrzymujemy zależności

    ( ( |{ xA + xB = − 4 |{ yA + yB = − 4 xB + xC = 2 yB + yC = − 4 |( |( xA + xC = − 4 yA + yC = 8

    W każdym z układów, odejmujemy od pierwszego równania drugie i dodajemy trzecie. Otrzymamy 2xA = − 10 i 2yA = 8 , czyli A = (− 5,4) . Stąd już łatwo otrzymać B = (1,− 8) i C = (1,4) .

    Sposób II

    Jak poprzednio, zacznijmy od rysunku.

    PIC

    Ponieważ odcinek PQ jest równoległy do boku AC i jest od niego dwa razy krótszy, to → → PQ = AR . To pozwala łatwo wyliczyć współrzędne punktu A = (x,y) .

    → PQ = [3,0] → AR = [− 2 − x,4 − y] → → PQ = AR [3 ,0] = [− 2 − x,4 − y ] ⇒ A = (x,y ) = (− 5,4).

    Podobnie wyliczamy współrzędne pozostałych punktów.  
    Odpowiedź: A = (− 5,4) , B = (1,− 8) oraz C = (1,4)

  • Korzystając z poprzedniego podpunktu, możemy obliczyć długości boków danego trójkąta.
    ∘ --------- √ ------ √ -- AB = 62 + 122 = 6 1+ 4 = 6 5 ∘ --------- BC = 02 + 122 = 1 2 ∘ -2----2 AC = 6 + 0 = 6.

    Obwód wynosi więc √ -- 18+ 6 5 .  
    Odpowiedź: √ -- 18+ 6 5

Wersja PDF