Zadanie nr 1309148

Punkt A = (− 1,− 7) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego ABC , w którym |AC | = |BC | . Obie współrzędne wierzchołka są liczbami dodatnimi. Okrąg wpisany w trójkąt ABC ma równanie x2 + y2 = 1 0 . Oblicz współrzędne wierzchołków i tego trójkąta.

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

Rozpoczniemy od napisania równań stycznych do danego okręgu poprowadzonych z punktu . Każda prosta, która nie jest pionowa i przechodzi przez punkt ma równanie postaci

y = a(x + 1) − 7 = ax + (a− 7).

Są różne sposoby ustalenia dla jakich wartości prosta tej postaci jest styczna do danego okręgu, można np. wstawić y = a(x+ 1)− 7 do równania okręgu i sprawdzić, kiedy otrzymane równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie (licząc deltę). Inny sposób to skorzystać ze wzoru na odległość punktu P = (x0,y0) od prostej Ax + By + C = 0 :

|Ax-0-+-By-0 +-C|- √ --2----2- . A + B

W naszej sytuacji odległość punktu O = (0,0) od prostej y = ax + (a − 7) musi być równa √ --- r = 10 . Sprawdzamy kiedy tak jest.

√ --- 10 = √|a−--7|- /()2 1 + a2 10+ 10a2 = (a − 7)2 = a2 − 14a + 4 9 9a2 + 14a − 39 = 0 2 Δ = 196 + 1 404 = 160 0 = 40 −-14-−-4-0 27- −-14-+-40- 13- a = 2 ⋅9 = − 9 = − 3 lub a = 2 ⋅9 = 9 .

Proste i mają więc odpowiednio równania:

13 ( 1 3 ) 13 50 AB : y = ax + (a − 7) = --x + ---− 7 = --x − --- 9 9 9 9 AC : y = ax + (a − 7) = − 3x+ (− 3− 7) = − 3x − 10

(w tym miejscu korzystamy z tego, że punkt ma obie współrzędne dodatnie – dlatego drugie z równań nie może określać prostej ). Zauważmy teraz, że łatwo jest napisać równanie osi symetrii trójkąta ABC (czyli jego wysokości/dwusiecznej poprowadzonej z wierzchołka ). Jest to prosta prostopadła do podstawy i przechodząca przez środek O = (0,0) okręgu wpisanego. Jest to więc prosta y = − 9-x 13 . Szukamy teraz jej punktu wspólnego z prostą .