Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 1309148

Punkt A = (− 1,− 7) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego ABC , w którym |AC | = |BC | . Obie współrzędne wierzchołka B są liczbami dodatnimi. Okrąg wpisany w trójkąt ABC ma równanie x2 + y2 = 1 0 . Oblicz współrzędne wierzchołków B i C tego trójkąta.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.


PIC


Rozpoczniemy od napisania równań stycznych do danego okręgu poprowadzonych z punktu A . Każda prosta, która nie jest pionowa i przechodzi przez punkt A ma równanie postaci

y = a(x + 1) − 7 = ax + (a− 7).

Są różne sposoby ustalenia dla jakich wartości a prosta tej postaci jest styczna do danego okręgu, można np. wstawić y = a(x+ 1)− 7 do równania okręgu i sprawdzić, kiedy otrzymane równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie (licząc deltę). Inny sposób to skorzystać ze wzoru na odległość punktu P = (x0,y0) od prostej Ax + By + C = 0 :

|Ax-0-+-By-0 +-C|- √ --2----2- . A + B

W naszej sytuacji odległość punktu O = (0,0) od prostej y = ax + (a − 7) musi być równa  √ --- r = 10 . Sprawdzamy kiedy tak jest.

 √ --- 10 = √|a−--7|- /()2 1 + a2 10+ 10a2 = (a − 7)2 = a2 − 14a + 4 9 9a2 + 14a − 39 = 0 2 Δ = 196 + 1 404 = 160 0 = 40 −-14-−-4-0 27- −-14-+-40- 13- a = 2 ⋅9 = − 9 = − 3 lub a = 2 ⋅9 = 9 .

Proste AB i AC mają więc odpowiednio równania:

 13 ( 1 3 ) 13 50 AB : y = ax + (a − 7) = --x + ---− 7 = --x − --- 9 9 9 9 AC : y = ax + (a − 7) = − 3x+ (− 3− 7) = − 3x − 10

(w tym miejscu korzystamy z tego, że punkt B ma obie współrzędne dodatnie – dlatego drugie z równań nie może określać prostej AB ). Zauważmy teraz, że łatwo jest napisać równanie osi symetrii CD trójkąta ABC (czyli jego wysokości/dwusiecznej poprowadzonej z wierzchołka C ). Jest to prosta prostopadła do podstawy AB i przechodząca przez środek O = (0,0) okręgu wpisanego. Jest to więc prosta y = − 9-x 13 . Szukamy teraz jej punktu wspólnego C z prostą AC .

{ -9 y = − 13x y = − 3x − 10

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

 -9- 0 = 3x − 13 x + 10 30 13 13 −1 0 = ---x ⇒ x = − 1 0⋅ ---= − ---. 13 30 3

Stąd  -9 y = − 13x = 3 i  ( 13 ) C = − 3 ,3 .

Wyznaczmy jeszcze punkt wspólny D prostych CD i AB .

{ 9 y = − 13x y = 13x − 50 9 9

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy

 13 9 50 250 50 0 = ---x + ---x− ---= ---x − --- 9 13 9 117 9 x = 50-⋅ 117-= 13. 9 250 5

Stąd  9 9 y = − 13x = − 5 i  ( 13 9) D = 5-,− 5 . Pozostało teraz obliczyć współrzędne punktu B – korzystamy z tego, że punkt D jest środkiem podstawy AB .

 A + B D = ------- ⇒ 2D = A + B 2 ( ) ( ) B = 2D − A = 26-,− 18- − (− 1,− 7) = 31, 17- . 5 5 5 5

 
Odpowiedź:  ( ) B = 31, 17- = (6,2; 3,4) 5 5 ,  ( ) C = − 13-,3 3

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!