/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Trójkąt/Równoramienny

Zadanie nr 1368238

Punkty A = (4,6) i B = (− 12,6) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC , w którym |AB | = |AC | . Wysokość AD tego trójkąta jest zawarta w prostej o równaniu y = 12 x+ 4 . Oblicz współrzędne wierzchołka C tego trójkąta.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Wysokość AD jest prostopadła do boku BC , więc prosta BC musi mieć równanie postaci y = − 2x + b . Współczynnik b wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu B .

6 = − 2 ⋅(− 12)+ b ⇒ b = − 18 .

Zatem prosta BC ma równanie y = − 2x − 18 . Punkt C ma więc współrzędne postaci C = (x ,−2x − 18) . Pozostało teraz skorzystać z warunku AB = AC .

2 2 AB = AC (−1 2− 4 )2 + (6 − 6)2 = (x− 4)2 + (− 2x − 18− 6)2 256 = x2 − 8x + 16 + 4x 2 + 96x + 576 2 0 = 5x + 88x + 33 6 = 0 Δ = 88 2 − 4 ⋅5 ⋅336 = 1 024 = 322 x = −-88-−-32-= − 12 ∨ x = −-88+--32-= − 56-= − 2-8 = − 53-. 10 10 10 5 5

Rozwiązanie x = − 12 prowadzi do punktu B , zatem x = − 28 5 ,

56- 34- y = − 2x − 18 = 5 − 18 = − 5

oraz ( ) C = − 285 ,− 345 .  
Odpowiedź: ( ) C = − 285 ,− 345 = (− 5,6; − 6,8)

Wersja PDF