Zadanie nr 1411214

Punkt A = (− 3,4) jest wierzchołkiem rozwartokątnego trójkąta równoramiennego ABC , w którym |AC | = |BC | . Pole tego trójkąta jest równe 17,5 i wszystkie jego wierzchołki mają współrzędne całkowite. Bok zawarty jest w prostej o równaniu 6y − x + 8 = 0 . Oblicz obwód trójkąta ABC .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy oczywiście od rysunku.

Plan jest następujący: obliczymy długość wysokości opuszczonej na bok , co dzięki podanemu polu pozwoli nam obliczyć długość ramienia trójkąta. Znając długość ramienia znajdziemy punkt jako punkt wspólny okręgu o środku w punkcie i promieniu AC = BC oraz podanej prostej 1 4 y = 6x − 3 .

Długość wysokości to odległość punktu od prostej 6y − x + 8 = 0 , czyli

|24-+-3-+-8| -35-- AD = √ 36 + 1 = √ 37.

Ponieważ pole jest równe 17,5 mamy

1- 17,5 = 2BC ⋅AD / ⋅2 35 35 = BC ⋅√---- √ 3-7 3 7 √ --- BC = 35 ⋅----- = 37. 35

To oznacza, że punkt leży na okręgu o środku w punkcie i promieniu √ --- 37 . Okrąg ten ma równanie

2 2 (x + 3) + (y − 4) = 37.

Szukamy jego punktów wspólnych z podaną prostą – podstawiamy x = 6y+ 8 .

(6y+ 8+ 3)2 + (y− 4)2 = 37 2 2 36y + 132y + 12 1+ y − 8y + 16 = 37 37y2 + 124y + 10 0 = 0.

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe

Δ = 1242 − 4⋅3 7⋅10 0 = 576 = 242 y = −-124-−-24-= −2 lub x = −-124-+-24-= − 100-= − 50-. 74 74 74 37

Ponieważ wiemy, że współrzędne wszystkich wierzchołków trójkąta ABC są całkowite, odrzucamy drugie rozwiązanie i mamy x = 6y + 8 = −4 , czyli C = (− 4,− 2) .

Pozostało teraz obliczyć współrzędne wierzchołka . Szukamy punktu B = (6y + 8,y) , dla którego

√ --- ( 37)2 = CB 2 = (6y + 8 + 4 )2 + (y + 2)2 2 2 37 = 36y + 14 4y+ 144 + y + 4y + 4 0 = 37y 2 + 14 8y+ 111 / : 37 0 = y2 + 4y + 3.

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe

Δ = 16 − 12 = 4 y = −-4-−-2 = − 3 lub y = −-4-+-2 = − 1. 2 2

Mamy wtedy odpowiednio B = (− 10,− 3) lub B = (2,− 1) . Teraz musimy być ostrożni, bo wiemy dodatkowo, że trójkąt ABC ma być rozwartokątny. Jeżeli zrobimy dość dokładny rysunek to powinno być jasne, że tak jest tylko w przypadku pierwszego punktu. Jeżeli chcemy mieć 100% pewności, to porównujemy kwadraty długości boków w obu przypadkach. Jeżeli B = (− 10,− 3) , to