/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Trójkąt/Równoramienny

Zadanie nr 1498824

Punkty A = (7,− 15 ) i B = (− 2,12 ) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC , w którym |AC | = |BC | . Wierzchołek C leży na prostej y = 5 . Oblicz współrzędne wierzchołka C oraz obwód tego trójkąta.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Sposób I

Szukamy punktu C = (x,5) na podanej prostej, który spełnia równość: |AC | = |BC | .

|AC | = |BC | |AC |2 = |BC |2 2 2 2 2 (x − 7 ) + (5 + 15) = (x+ 2) + (5 − 1 2) x 2 − 14x + 49+ 400 = x 2 + 4x + 4+ 49 39 6 = 18x ⇒ x = 22.

Zatem C = (22,5) . To pozwala obliczyć długości boków trójkąta ABC .

∘ ---------------------- √ ---------- √ ---- AC = BC = (22 − 7)2 + (5+ 15)2 = 225 + 4 00 = 625 = 25 ∘ ----------------------- --------- ------ --- AB = (− 2− 7)2 + (12+ 15)2 = √ 81 + 729 = 9√ 1 + 9 = 9√ 1 0.

Obwód trójkąta ABC jest więc równy

√ --- AC + BC + AB = 2AC + AB = 50+ 9 10.

Sposób II

Ponieważ trójkąt ABC jest równoramienny i AB jest jego podstawą, wierzchołek C leży na symetralnej odcinka AB . Napiszmy równanie tej symetralnej. Można to zrobić na wiele sposobów, my skorzystamy ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez punkt (x0,y0) i prostopadłej do wektora →v = [p,q] .

p(x − x0) + q(y − y0) = 0 ,

W naszej sytuacji mamy → −→ v = AB = [− 9,27] oraz

( 7− 2 − 15 + 12 ) ( 5 3) (x0,y0) = S = -----,---------- = -,− -- . 2 2 2 2

Zatem symetralna odcinka AB ma równanie

( ) ( ) − 9 x − 5- + 27 y + 3- = 0 / : 9 2 2 5 9 − x + -+ 3y+ --= 0 2 2 − x + 3y + 7 = 0.

Pozostało teraz znaleźć punkt wspólny tej prostej z prostą y = 5 . Podstawiamy w powyższym równaniu y = 5 .

−x + 22 = 0 ⇒ x = 22.

Zatem C = (22,5) . Obwód trójkąta ABC obliczamy tak samo jak w poprzednim sposobie.  
Odpowiedź: C = (22,5) , obwód: √ --- 50+ 9 10 .

Wersja PDF