Zadanie nr 1858695
Punkt jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego
o podstawie
. Pole tego trójkąta jest równe 20, a wysokość poprowadzona z wierzchołka
tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu
. Oblicz współrzędne punktów
i
. Rozważ wszystkie przypadki.
Rozwiązanie
Szkicujemy opisaną sytuację.
Na początku napiszmy równanie podstawy – jest to prosta prostopadła do podanej wysokości, więc ma równanie postaci
. Współczynnik
wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu
.

Prosta ma więc równanie
. Szukamy teraz jej punktu wspólnego
z podaną wysokością (
jest środkiem boku
).

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

Stąd i
.
Teraz łatwo wyznaczyć współrzędne punktu – korzystamy z tego, że punkt
jest środkiem odcinka
.

Stąd

Pora wykorzystać podaną informację o polu trójkąta .

Szukamy teraz punktu na podanej wysokości
, dla którego
.

Stąd

Mamy wtedy i
odpowiednio. Zatem
lub
.
Odpowiedź: ,
lub