/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Trójkąt/Równoramienny

Zadanie nr 4064606

Dany jest trójkąt równoramienny ABC , w którym |AC | = |BC | oraz A = (2,1) i C = (1,9) . Podstawa AB tego trójkąta jest zawarta w prostej y = 12x . Oblicz współrzędne wierzchołka B .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Ponieważ punkt B leży na prostej 1 y = 2 x , więc ma on postać ( x) B = x, 2 .

PIC

Zapiszmy teraz warunek AC = BC .

2 2 AC = BC 2 2 2 ( x )2 (1− 2) + (9− 1) = (1− x) + 9 − -- 2 2 1+ 64 = 1 − 2x + x 2 + 81 − 9x + x-- 4 5 2 0 = 4-x − 11x + 17 = 0 2 Δ = 121− 85 = 36 = 6 1 1− 6 11 + 6 34 x = ---5--- = 2 lub x = --5----= --. 2 2 5

Pierwsze rozwiązanie daje współrzędne punktu A , więc musi być 34 x = 5- , czyli ( ) B = (x , x) = 34, 17 2 5 5 .

Sposób II

Napiszmy najpierw równanie wysokości CD trójkąta ABC jest prosta postaci y = − 2x+ b (bo jest prostopadła do AB ) oraz przechodzi przez punkt C , więc

9 = − 2+ b ⇒ b = 1 1.

Szukamy teraz punktu wspólnego D prostych AB i CD .

{ 1 y = 2x y = − 2x + 11.

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

1 0 = -x + 2x − 11 2 11 = 5x ⇒ x = 22-. 2 5

Stąd 44 11 y = − 2x + 11 = − 5-+ 11 = -5 i ( 22 11) D = 5-,-5 . Ponieważ trójkąt ABC jest równoramienny, spodek wysokości D jest środkiem jego podstawy AB . Stąd

( ) ( ) A + B 44 22 34 1 7 D = ------- ⇒ B = 2D − A = --,--- − (2,1 ) = --,--- . 2 5 5 5 5

 
Odpowiedź: ( ) 34, 17 5 5

Wersja PDF