/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Trójkąt/Równoramienny

Zadanie nr 4798713

Punkty A = (− 1,1) i C = (1,9) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC , w którym |AC | = |BC | . Podstawa AB tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu y = 12 x+ 32 . Oblicz współrzędne wierzchołka B tego trójkąta.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Ponieważ punkt B leży na prostej y = 12x + 32 , więc ma on postać ( ) B = x, 12x + 32 .

PIC

Zapiszmy teraz warunek AC = BC .

2 2 AC = BC ( ) ( ) 2 2 2 1 3 2 2 1 5 1 2 (1+ 1) + (9− 1) = (1− x) + 9 − -x − -- = (1 − x ) + ---− -x 2 2 2 2 2 225- 15- 1- 2 4+ 64 = 1 − 2x + x + 4 − 2 x + 4x 5 19 43 0 = --x2 − --x − --- /⋅ 4 4 2 2 4 0 = 5x − 38x − 43 = 0 2 Δ = 1444 + 860 = 2304 = 48 3-8−--48 38-+-48- 43- x = 10 = − 1 lub x = 1 0 = 5 = 8,6.

Pierwsze rozwiązanie daje współrzędne punktu A , więc musi być 43 x = 5 , czyli

( 1 3) ( 43 29) B = x,-x + -- = --, --- . 2 2 5 5

Sposób II

Napiszmy najpierw równanie wysokości CD trójkąta ABC jest prosta postaci y = − 2x+ b (bo jest prostopadła do AB ) oraz przechodzi przez punkt C , więc

9 = − 2+ b ⇒ b = 1 1.

Szukamy teraz punktu wspólnego D prostych AB i CD .

{ y = 1x + 3 2 2 y = − 2x + 11.

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

1- 3- 0 = 2x + 2x + 2 − 11 19 5 19 ---= -x ⇒ x = ---. 2 2 5

Stąd y = − 2x + 11 = − 38+ 11 = 17 5 5 i ( ) D = 19, 17 5 5 . Ponieważ trójkąt ABC jest równoramienny, spodek wysokości D jest środkiem jego podstawy AB . Stąd

( ) ( ) A-+-B-- 38-3-4 43-2-9 D = 2 ⇒ B = 2D − A = 5 , 5 − (− 1,1 ) = 5 , 5 .

 
Odpowiedź: ( ) 435 , 295 = (8,6; 5,8)

Wersja PDF