/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Trójkąt/Równoramienny

Zadanie nr 5553102

Podstawa trójkąta równoramiennego zawiera się w prostej y = −x − 5 , a jedno z jego ramion w prostej y = 3x − 5 . Wyznacz równanie drugiego ramienia tego trójkąta, jeżeli jednym z jego wierzchołków jest punkt o współrzędnych (2,1) .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Możemy zacząć od szkicowego rysunku.

PIC

Wyliczmy współrzędne punktu B .

{ y = −x − 5 y = 3x − 5.

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze (żeby skrócić y ) i mamy

0 = 4x ⇒ x = 0.

Stąd y = − 5 . Zatem B = (0,− 5) .

Sposób I

Powiedzmy, że szukamy prostej y = ax + b . Wyliczymy współrzędne punktu A i sprawdzimy kiedy AC = BC .

Zacznijmy od zauważenia, że jeżeli punkt C = (2 ,1 ) leży na szukanej prostej y = ax + b to

1 = 2a + b ⇒ b = 1 − 2a.

Teraz wyliczmy współrzędne punktu A

{ y = −x − 5 y = ax + 1 − 2a.

Jak poprzednio, odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy

2a−--6- 0 = (a+ 1 )x+ (6− 2a) ⇒ x = a + 1 .

Powinniśmy jeszcze popatrzeć, co się dzieje jak a = −1 . Wtedy jednak proste y = −x − 5 i y = ax + b są równoległe i nie mają punktu przecięcia. Wyliczmy jeszcze y .

6 − 2a 1− 7a y = −x − 5 = -------− 5 = ------. a+ 1 a + 1

Zatem ( 2a−-6 1−7a) A = a+1 ,a+ 1 .

Pozostało sprawdzić kiedy CA = CB (od razu porównujemy kwadraty odległości).

( ) 2 ( ) 2 2a−--6-− 2 + 1−--7a− 1 = (0− 2)2 + (−5 − 1 )2 a + 1 a + 1 ( ) 2 ( ) 2 -−-8-- + -−-8a- = 4+ 36 / ⋅(a + 1)2 a+ 1 a + 1 6 4+ 64a2 = 40(a + 1)2 / : 8 8 + 8a 2 = 5a2 + 10a + 5 2 3a − 1 0a+ 3 = 0 Δ = 100 − 3 6 = 64 a = 10-−-8-= 1- ∨ a = 10-+-8-= 3 . 6 3 6

Drugie rozwiązanie daje nam prostą BC , więc wybieramy 1 a = 3 . Wtedy

b = 1 − 2a = 1. 3

Sposób II

Tym razem zamiast bawić się w parametry spróbujmy lepiej wykorzystać to, co mamy.

Łatwo możemy napisać równanie symetralnej odcinka AB : jest to prosta prostopadła do AB , czyli postaci y = x + b i przechodzi przez C = (2,1) . Z tego drugiego warunku wyliczamy b .

1 = 2+ b ⇒ b = − 1.

Zatem symetralna ma równanie y = x − 1 . Teraz szukamy jej punktu wspólnego M z prostą AB .

{ y = −x − 5 y = x − 1.

Dodając równania stronami mamy

2y = − 6 ⇒ y = − 3.

Stąd x = y + 1 = − 2 . Zatem M = (−2 ,−3 ) . No i fajnie, bo ten punkt to środek odcinka AB (bo trójkąt jest równoramienny). Jeżeli oznaczymy A = (xA ,yA ) to ze wzoru na środek odcinka mamy

( ) xA-+--0 yA-−--5 (−2 ,−3 ) = M = 2 , 2 ⇒ A = (xA ,yA ) = (− 4,− 1).

Pozostało teraz napisać równanie prostej AC . Jeżeli szukamy prostej y = ax+ b to mamy układ równań

{ − 1 = − 4a + b 1 = 2a + b.

Odejmując od drugiego równania pierwsze mamy

1- 2 = 6a ⇒ a = 3.

Zatem b = 1 − 2a = 13 .

Sposób III

Zauważmy, że punkt A leży na danej prostej y = −x − 5 oraz na okręgu o środku C i promieniu

∘ ------------- 2 2 √ ------- √ --- BC = 2 + (1 + 5) = 4 + 36 = 40,

czyli na okręgu

(x − 2)2 + (y − 1)2 = 40.

Szukamy punktów wspólnych tego okręgu z prostą AB – podstawiamy y = −x − 5 do równania okręgu.

(x − 2)2 + (−x − 5− 1)2 = 40 2 2 x − 4x + 4 + x + 12x + 3 6 = 40 / : 2 x2 + 4x = 0 x = 0 ∨ x = − 4.

Pierwsze rozwiązanie prowadzi do punktu B , więc mamy x = − 4 i y = −x − 5 = − 1 . Stąd A = (− 4,− 1) .

Teraz pozostało napisać równanie prostej AC . Szukamy prostej w postaci y = ax+ b i podstawiamy współrzędne punktów A i C .

{ − 1 = − 4a + b 1 = 2a + b.

Odejmując od drugiego równania pierwsze mamy

2 = 6a ⇒ a = 1. 3

Zatem b = 1 − 2a = 13 .  
Odpowiedź: y = 1x + 1 3 3

Wersja PDF