Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 7501233

Punkt S jest punktem przecięcia się środkowych trójkąta równoramiennego ABC o podstawie AB . Okrąg o średnicy AB ma równanie x 2 + y2 + 12x − 10y+ 44 = 0 , a cięciwa tego okręgu równoległa do prostej AB i przechodząca przez punkt S zawiera się w prostej o równaniu x − y + 14 = 0 . Wyznacz równanie okręgu o środku C , który przechodzi przez punkty A i B .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zacznijmy od przekształcenia równania okręgu tak, żeby widzieć jaki jest jego środek i promień.

 2 2 x + y + 1 2x− 10y + 44 = 0 (x 2 + 1 2x+ 36) + (y2 − 10y + 25) = 36+ 25− 44 = 17 (x + 6 )2 + (y − 5)2 = 17.

Jest to więc okrąg o środku O = (− 6,5) i promieniu  √ --- r = 17 .


PIC


Znajdźmy teraz punkty wspólne tego okręgu z daną prostą – podstawiamy y = x+ 14 w równaniu okręgu.

0 = x2 + y2 + 12x − 10y + 44 = x2 + (x+ 14)2 + 12x − 10(x + 1 4)+ 4 4 = 2 2 2 = x + x + 28x + 196 + 12x − 10x − 140 + 44 = 2x + 30x + 100 / : 2 0 = x2 + 15x + 50 Δ = 225− 200 = 2 5 −-15−--5- −-15-+-5- x = 2 = − 10 lub x = 2 = − 5.

Stąd y = x + 14 = 4 i y = x + 14 = 9 odpowiednio. Zatem K = (− 10,4) , L = (− 5,9) i

 ( ) ( ) S = K--+-L = −-10−--5, 4-+-9 = − 15-, 13 . 2 2 2 2 2

Chcielibyśmy teraz wyznaczyć współrzędne punktu C . Aby to zrobić musimy sięgnąć odrobinę głębiej do geometrii i przypomnieć sobie, że środek ciężkości trójkąta (punkt wspólny jego środkowych) dzieli każdą ze środkowych w stosunku 2:1 (licząc od wierzchołka). W takim razie SC = 2OS . Łatwo na tej podstawie wyznaczyć współrzędne punktu C = (x,y) .

 −→ −→ SC = 2OS [ ] [ ] [ ] x + 15-,y− 13- = 2 − 15-+ 6, 1-3− 5 = 2 − 3-, 3 = [− 3,3 ]. 2 2 2 2 2 2

Stąd

{ x + 15= − 3 ⇒ x = − 15− 3 = − 21 213 213 19 2 y − 2-= 3 ⇒ y = 3+ 2-= 2-.

Zatem  ( ) C = − 21, 19 2 2 . Potrzebujemy jeszcze promień okręgu, czyli np. długość odcinka BC . Wiemy, że  2 OB = 17 oraz

 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 OC 2 = − 21-+ 6 + 19-− 5 = − 9- + 9- = 81-. 2 2 2 2 2

Stąd

 2 2 2 81 115 BC = OC + OB = ---+ 17 = ---- 2 2

i szukany okrąg ma równanie

( ) 2 ( ) 2 x + 21- + y − 19- = 115-. 2 2 2

 
Odpowiedź: ( ) ( ) x + 21 2 + y− 19 2 = 115- 2 2 2

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!