Zadanie nr 7501233
Punkt jest punktem przecięcia się środkowych trójkąta równoramiennego
o podstawie
. Okrąg o średnicy
ma równanie
, a cięciwa tego okręgu równoległa do prostej
i przechodząca przez punkt
zawiera się w prostej o równaniu
. Wyznacz równanie okręgu o środku
, który przechodzi przez punkty
i
.
Rozwiązanie
Zacznijmy od przekształcenia równania okręgu tak, żeby widzieć jaki jest jego środek i promień.

Jest to więc okrąg o środku i promieniu
.
Znajdźmy teraz punkty wspólne tego okręgu z daną prostą – podstawiamy w równaniu okręgu.

Stąd i
odpowiednio. Zatem
,
i

Chcielibyśmy teraz wyznaczyć współrzędne punktu . Aby to zrobić musimy sięgnąć odrobinę głębiej do geometrii i przypomnieć sobie, że środek ciężkości trójkąta (punkt wspólny jego środkowych) dzieli każdą ze środkowych w stosunku 2:1 (licząc od wierzchołka). W takim razie
. Łatwo na tej podstawie wyznaczyć współrzędne punktu
.
![−→ −→ SC = 2OS [ ] [ ] [ ] x + 15-,y− 13- = 2 − 15-+ 6, 1-3− 5 = 2 − 3-, 3 = [− 3,3 ]. 2 2 2 2 2 2](https://img.zadania.info/zad/7501233/HzadR14x.gif)
Stąd

Zatem . Potrzebujemy jeszcze promień okręgu, czyli np. długość odcinka
. Wiemy, że
oraz

Stąd

i szukany okrąg ma równanie

Odpowiedź: