Zadanie nr 7943780

W trójkącie równoramiennym ABC dane są wierzchołki podstawy: B = (1,− 1) i C = (4,0) . Jedno z ramion trójkąta zawiera się w prostej o równaniu x+ 2y− 4 = 0 . Na boku tego trójkąta obrano taki punkt , że |AP | : |PB | = 3 : 2 . Napisz równanie okręgu o środku w punkcie , stycznego do podstawy .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Po pierwsze łatwo sprawdzić, że dane równanie prostej to równanie ramienia (bo przechodzi przez punkt ). Szkicujemy trójkąt równoramienny.

Współrzędne wierzchołka możemy wyznaczyć znajdując punkt przecięcia prostej oraz symetralnej odcinka . Równanie tej symetralnej możemy napisać na różne sprytne sposoby, ale ponieważ i tak będzie nam potem potrzebne równanie prostej , zróbmy to w najmniej wyraﬁnowany sposób, czyli zaczynamy od równania podstawy . Szukamy prostej w postaci y = ax + b i podstawiamy współrzędne punktów i .

{ − 1 = a + b 0 = 4a + b

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy

1 = 3a ⇒ a = 1. 3

Stąd 1 4 b = − 1 − a = − 1 − 3 = − 3 i podstawa ma równanie

1 4 BC : y = --x− -. 3 3

Symetralna odcinka przechodzi przez jego środek

B + C ( 5 1) S = ------ = --,− -- 2 2 2

i jest prostopadła do , czyli ma równanie postaci y = − 3x + b . Współczynnik wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu .

− 1-= − 3 ⋅ 5-+ b ⇒ b = 7. 2 2

Symetralna odcinka ma więc równanie: y = − 3x + 7 . Wyznaczmy teraz jej punkt wspólny z prostą .

{ y = − 3x+ 7 y = − 1x + 2 2

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy

1 0 = 3x− -x − 5 2 5 = 5x ⇒ x = 2. 2

Stąd 1 y = − 2 x+ 2 = 1 i A = (2,1) . Teraz musimy się zastanowić jak wyznaczyć współrzędne punktu . Najprostszy sposób, to zapisać daną informację o stosunku w jakim punkt P = (x,y ) dzieli odcinek w sposób wektorowy.