Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 8230680

Podstawą trójkąta równoramiennego jest odcinek o końcach w punktach A = (1,− 5) oraz B = (4,1) . Jedno z jego ramion zawiera się w prostej o równaniu y = −x − 4 . Oblicz współrzędne trzeciego wierzchołka trójkąta.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku - aby go zrobić zauważmy, że prosta y = −x − 4 powstaje z prostej y = −x przez przesunięcie o cztery jednostki w dół, oraz przechodzi przez punkty (0,− 4) , (−4 ,0) .


PIC


Sposób I

Ponieważ trójkąt ABC jest równoramienny i AB jest jego podstawą, wierzchołek C leży na symetralnej odcinka AB . Napiszmy równanie tej symetralnej. Można to zrobić na wiele sposobów, my skorzystamy ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez punkt (x0,y0) i prostopadłej do wektora →v = [p,q] .

p(x − x0) + q(y − y0) = 0 ,

W naszej sytuacji mamy → −→ v = AB = [3,6] oraz

 ( 1 + 4 1− 5 ) ( 5 ) (x0,y0) = S = -----, ------ = -,− 2 . 2 2 2

Zatem symetralna odcinka AB ma równanie

 ( ) 3 x− 5- + 6(y + 2) = 0 / ⋅ 2 2 3 2x − 5+ 4y+ 8 = 0 2x + 4y+ 3 = 0.

Pozostało teraz znaleźć punkt wspólny tej prostej z podaną prostą y = −x − 4 . Podstawiamy y = −x − 4 do powyższego równania.

2x + 4(−x − 4) + 3 = 0 13 − 2x = 13 ⇐ ⇒ x = − ---. 2

Stąd  5 y = −x − 4 = 2 . Zatem  13 5 C = (− 2 ,2) .

Sposób II

Szukamy punktu C = (x,y) na podanej prostej, który spełnia równość: |AC | = |CB | (bo trójkąt ABC ma być równoramienny i AB jest jego podstawą). Ponieważ punkt C leży na prostej y = −x − 4 jego współrzędne możemy zapisać w postaci C = (x,−x − 4) i dostajemy równanie

|AC | = |BC | |AC |2 = |BC |2 (x − 1)2 + (−x − 4 + 5)2 = (x− 4)2 + (−x − 4 − 1)2 2 2 2 2 (x − 1) + (1 − x ) = (x− 4) + (−x − 5) 2 (x− 1)2 = (x − 4)2 + (x + 5)2 2 2 2 2 (x − 2x+ 1) = x − 8x + 16 + x + 1 0x+ 25 2x 2 − 4x + 2 = 2x 2 + 2x + 41 13- − 39 = 6x ⇐ ⇒ x = − 2 .

Stąd y = −x − 4 = 52 .  
Odpowiedź: C = (− 13, 5) 2 2

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!