/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Trójkąt/Równoramienny

Zadanie nr 8368390

Punkty A (2,− 3) i B (6,− 1) są końcami podstawy trójkąta równoramiennego ABC , którego pole jest równe 10. Wyznacz współrzędne wierzchołka C .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Obliczmy długość podstawy AB :

∘ --------------------- √ ------- √ -- AB = (6 − 2)2 + (− 1 + 3)2 = 16 + 4 = 2 5.

Z podanego pola mamy zatem

1 √ -- 1 0 √ -- 1 0 = 2-AB ⋅h = 5h ⇒ h = √---= 2 5. 5

gdzie h jest wysokością opuszczoną na bok AB .

Sposób I

Jeden z możliwych sposobów wyznaczenia punktu C , to znalezienie punktów wspólnych okręgów o środkach w punktach A i B i promieniu

--------------- ∘ ( ) 2 AC = 1AB + h2 = √ 5+--20-= 5. 2

Musimy zatem rozwiązać układ równań.

{ 2 2 (x − 2 ) + (y + 3) = 25 (x − 6 )2 + (y + 1)2 = 25 { x 2 − 4x + y2 + 6y = 12 x 2 − 1 2x+ y2 + 2y = − 12.

Odejmujemy teraz od pierwszego równania drugie (żeby skrócić kwadraty) i mamy

8x + 4y = 2 4 ⇒ y = 6 − 2x .

Podstawiamy tę wartość do pierwszego z równań

(x− 2)2 + (6− 2x+ 3)2 = 25 2 2 (x− 2) + (9− 2x) = 25 x2 − 4x + 4 + 81 − 36x + 4x 2 = 25 2 5x − 40x + 60 = 0 x2 − 8x + 12 = 0 Δ = 64− 48 = 16 x = 2, x = 6. 1 2

Stąd odpowiednio

y1 = 6− 2x1 = 2 y2 = 6− 2x2 = − 6.

Sposób II

Tym razem zacznijmy od wyliczenia środka S odcinka AB :

( ) 2-+-6- −3-−-1- S = 2 , 2 = (4,− 2).

Teraz napiszemy równanie prostej zawierającej wysokość h . Korzystamy ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora → v = [p,q] i przechodzącej przez punkt (x0,y0)

p(x − x0) + q(y − y0) = 0 .

W naszej sytuacji → →v = AB = [4,2] i (x0,y0) = S = (4,− 2) . Zatem równanie wysokości ma postać

4(x − 4) + 2(y + 2) = 0 4x + 2y − 1 2 = 0 y = −2x + 6.

Pozostało znaleźć na tej prostej punkty C = (x ,y) = (x,− 2x + 6) , dla których √ -- CS = h = 2 5 . Daje to nam równanie

2 2 2 20 = CS = (4 − x) + (− 2 + 2x − 6) 20 = CS 2 = (4 − x)2 + (− 8 + 2x)2 2 2 20 = 16 − 8x + x + 6 4− 32x + 4x 5x2 − 40x + 60 = 0 x2 − 8x + 12 = 0 .

No i mamy to samo równanie co poprzednio.  
Odpowiedź: C = (2,2) lub C = (6 ,−6 )

Wersja PDF