Punkty A(2,-3) i B(6,-1) są końcami podstawy trójkąta równoramiennego... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Równoramienny, 8368390

Strona główna

Forum

Generator arkuszy

Kreator zestawów

Baza sprawdzianów

Plakaty matematyczne

Zadania

Trójkąt

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Trójkąt/Równoramienny

Zadanie nr 8368390

Punkty $A (2,− 3)$ i $B (6,− 1)$ są końcami podstawy trójkąta równoramiennego $ABC$ , którego pole jest równe 10. Wyznacz współrzędne wierzchołka $C$ .

Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.

Obliczmy długość podstawy $AB$ :

∘ --------------------- √ ------- √ -- AB = (6 − 2)2 + (− 1 + 3)2 = 16 + 4 = 2 5.

Z podanego pola mamy zatem

1 √ -- 1 0 √ -- 1 0 = 2-AB ⋅h = 5h ⇒ h = √---= 2 5. 5

gdzie $h$ jest wysokością opuszczoną na bok $AB$ .

Sposób I

Jeden z możliwych sposobów wyznaczenia punktu $C$ , to znalezienie punktów wspólnych okręgów o środkach w punktach $A$ i $B$ i promieniu

--------------- ∘ ( ) 2 AC = 1AB + h2 = √ 5+--20-= 5. 2

Musimy zatem rozwiązać układ równań.

{ 2 2 (x − 2 ) + (y + 3) = 25 (x − 6 )2 + (y + 1)2 = 25 { x 2 − 4x + y2 + 6y = 12 x 2 − 1 2x+ y2 + 2y = − 12.

Odejmujemy teraz od pierwszego równania drugie (żeby skrócić kwadraty) i mamy

8x + 4y = 2 4 ⇒ y = 6 − 2x .

Podstawiamy tę wartość do pierwszego z równań

(x− 2)2 + (6− 2x+ 3)2 = 25 2 2 (x− 2) + (9− 2x) = 25 x2 − 4x + 4 + 81 − 36x + 4x 2 = 25 2 5x − 40x + 60 = 0 x2 − 8x + 12 = 0 Δ = 64− 48 = 16 x = 2, x = 6. 1 2

Stąd odpowiednio

y1 = 6− 2x1 = 2 y2 = 6− 2x2 = − 6.

Sposób II

Tym razem zacznijmy od wyliczenia środka $S$ odcinka $AB$ :

( ) 2-+-6- −3-−-1- S = 2 , 2 = (4,− 2).

Teraz napiszemy równanie prostej zawierającej wysokość $h$ . Korzystamy ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora $→ v = [p,q]$ i przechodzącej przez punkt $(x0,y0)$