Zadanie nr 8368390
Punkty i
są końcami podstawy trójkąta równoramiennego
, którego pole jest równe 10. Wyznacz współrzędne wierzchołka
.
Rozwiązanie
Zaczynamy od szkicowego rysunku.
Obliczmy długość podstawy :

Z podanego pola mamy zatem

gdzie jest wysokością opuszczoną na bok
.
Sposób I
Jeden z możliwych sposobów wyznaczenia punktu , to znalezienie punktów wspólnych okręgów o środkach w punktach
i
i promieniu

Musimy zatem rozwiązać układ równań.

Odejmujemy teraz od pierwszego równania drugie (żeby skrócić kwadraty) i mamy

Podstawiamy tę wartość do pierwszego z równań

Stąd odpowiednio

Sposób II
Tym razem zacznijmy od wyliczenia środka odcinka
:

Teraz napiszemy równanie prostej zawierającej wysokość . Korzystamy ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora
i przechodzącej przez punkt

W naszej sytuacji i
. Zatem równanie wysokości ma postać

Pozostało znaleźć na tej prostej punkty , dla których
. Daje to nam równanie

No i mamy to samo równanie co poprzednio.
Odpowiedź: lub