/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Trójkąt/Równoramienny

Zadanie nr 8374254

Punkty A = (2,4) i B = (− 14,4) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC , w którym |AB | = |AC | . Wysokość AD tego trójkąta jest zawarta w prostej o równaniu y = 12 x+ 3 . Oblicz współrzędne wierzchołka C tego trójkąta.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Wysokość AD jest prostopadła do boku BC , więc prosta BC musi mieć równanie postaci y = − 2x + b . Współczynnik b wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu B .

4 = − 2 ⋅(− 14)+ b ⇒ b = − 24 .

Zatem prosta BC ma równanie y = − 2x − 24 . Punkt C ma więc współrzędne postaci C = (x ,−2x − 24) . Pozostało teraz skorzystać z warunku AB = AC .

2 2 AB = AC (− 14 − 2)2 + (4 − 4)2 = (x − 2 )2 + (− 2x − 2 4− 4 )2 2 56 = x2 − 4x + 4 + 4x 2 + 11 2x+ 784 2 0 = 5x + 108x + 53 2 = 0 Δ = 108 2 − 4 ⋅5 ⋅532 = 1 024 = 322 x = −-108-−-32-= − 14 ∨ x = −-108-+-32-= − 76-= − 38-= − 7 3. 10 10 10 5 5

Rozwiązanie x = − 14 prowadzi do punktu B , zatem x = − 38 5 ,

76- 44- y = − 2x − 24 = 5 − 24 = − 5

oraz ( ) C = − 385 ,− 445 .  
Odpowiedź: ( ) C = − 385 ,− 445 = (− 7,6; − 8,8)

Wersja PDF