Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 8764949

W trójkącie równoramiennym ABC o podstawie AB poprowadzono wysokość z wierzchołka C . Wyznacz równanie prostej zawierającej tę wysokość, jeśli A = (2,8 ) , B = (−2 ,4) .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Jeżeli naszkicujemy opisaną sytuację, to widać, że musimy napisać równanie symetralnej odcinka AB .


PIC


Sposób I

Możemy skorzystać ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora → v = [p,q] i przechodzącej przez punkt P = (x0,y0)

p(x − x0) + q(y − y0) = 0 .

W naszej sytuacji mamy

→v = A→B = [− 2 − 2,4 − 8] = [− 4,− 4]

oraz  2−2-8+-4 P = ( 2 , 2 ) = (0,6) (środek odcinka AB ). Zatem szukana prosta ma równanie

 − 4(x − 0 )− 4(y − 6 ) = 0 / : (− 4 ) x + y − 6 = 0 y = −x + 6.

Sposób II

Jeżeli nie chcemy korzystać ze wzoru z wektorem, to piszemy najpierw równanie prostej AB . Można skorzystać ze wzoru na równanie prostej przez dwa punkty, ale my obejdziemy się bez tego wzoru. Szukamy prostej postaci y = ax+ b , na której leżą punkty o współrzędnych (2,8 ) i (−2 ,4) . Podstawiając te współrzędne do równania prostej otrzymujemy układ równań

{ 8 = 2a + b 4 = − 2a + b

Odejmując od pierwszego równania drugie (żeby zredukować b ) mamy 4 = 4a , czyli a = 1 . Współczynnik b nie jest nam potrzebny, więc go nie wyliczamy.

Symetralna odcinka AB jest prostopadła do prostej AB , więc jej współczynnik kierunkowy musi być równy − 1 (bo pomnożony przez 1 ma dawać − 1 ). Zatem symetralna ta ma postać y = −x + b . Współczynnik b wyznaczamy podstawiając współrzędne środka odcinka AB , czyli punktu  2−2- 8+4- P = ( 2 , 2 ) = (0,6) .

6 = − 1 ⋅0+ b ⇒ b = 6.

Zatem symetralna ma równanie y = −x + 6 .

Sposób III

Symetralna to zbiór punktów M = (x ,y) , które są równoodległe od obu końców odcinka. Punkty spełniają więc równanie

 2 2 AM = BM (x − 2)2 + (y − 8)2 = (x + 2 )2 + (y − 4)2 2 2 2 2 x − 4x + 4 + y − 1 6y+ 64 = x + 4x + 4 + y − 8y + 1 6 − 8x + 48 = 8y / : 8 − x + 6 = y .

 
Odpowiedź: y = −x + 6

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!