/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Trójkąt/Równoramienny

Zadanie nr 9072339

Punkt A = (− 3,2) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego ABC , w którym |AC | = |BC | . Pole tego trójkąta jest równe 15. Bok BC zawarty jest w prostej o równaniu y = x − 1 . Oblicz współrzędne wierzchołków B i C tego trójkąta.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy oczywiście od rysunku.

PIC

Plan jest następujący: obliczymy długość wysokości opuszczonej na bok BC , co dzięki podanemu polu pozwoli nam obliczyć długość ramienia BC trójkąta. Znając długość ramienia BC znajdziemy punkt C jako punkt wspólny okręgu o środku w punkcie A i promieniu AC = BC oraz podanej prostej y = x− 1 .

Długość wysokości AD to odległość punktu A od prostej y− x+ 1 = 0 , czyli

|2-+-3-+-1|- -6-- √ -- AD = √ 1 + 1 = √ 2 = 3 2.

Ponieważ pole jest równe 15 mamy

1- 15 = 2BC ⋅AD √ -- 30 = BC ⋅3 2 --30- -10- √ -- BC = √ --= √ --= 5 2. 3 2 2

To oznacza, że punkt C leży na okręgu o środku w punkcie A i promieniu √ -- 5 2 . Okrąg ten ma równanie

2 2 (x + 3) + (y − 2) = 50.

Szukamy jego punktów wspólnych z podaną prostą – podstawiamy y = x− 1 .

(x + 3)2 + (x − 1 − 2 )2 = 50 2 2 x + 6x + 9+ x − 6x+ 9 = 50 2x 2 = 32 / : 2 2 x = 16 ⇒ x = ± 4.

Mamy wtedy y = x − 1 = − 5 i y = x − 1 = 3 odpowiednio. Zatem C = (− 4,− 5) lub C = (4 ,3 ) .

Pozostało teraz obliczyć współrzędne wierzchołka B . Zajmijmy się najpierw przypadkiem C = (− 4,− 5) . Szukamy punktu B = (x,x − 1) , dla którego

√ --2 2 2 2 (5 2) = CB = (x + 4) + (x − 1 + 5) 50 = 2(x + 4)2 / : 2 25 = (x + 4)2 − 5 = x + 4 lub 5 = x + 4 x = − 9 lub x = 1 .

Mamy wtedy odpowiednio B = (− 9,− 10) lub B = (1,0) .

Analogicznie postępujemy w przypadku punktu C = (4,3 ) .

√ -- (5 2)2 = CB 2 = (x − 4)2 + (x − 1 − 3)2 2 50 = 2(x − 4) / : 2 25 = (x − 4)2 − 5 = x − 4 lub 5 = x − 4 x = − 1 lub x = 9 .

Mamy wtedy odpowiednio B = (− 1,− 2) lub B = (9,8) .

W sumie otrzymaliśmy więc cztery konfiguracje punktów B i C spełniające warunki zadania.  
Odpowiedź: (B ,C) ∈ { ((−9 ,−1 0),(− 4,− 5)),((1,0),(− 4,− 5)),((− 1,2),(4,3))

Wersja PDF