Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9141165

Podstawą trójkąta równoramiennego jest odcinek o końcach w punktach A = (− 2,− 4) oraz B = (− 5,2) . Jedno z jego ramion zawiera się w prostej o równaniu y = x − 2 . Oblicz współrzędne trzeciego wierzchołka trójkąta.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.


PIC


Prosta y = x − 2 powstaje z prostej y = x przez przesunięcie o dwie jednostki w dół, oraz przechodzi przez punkty (0,− 2) , (2 ,0 ) .

Sposób I

Ponieważ trójkąt ABC jest równoramienny i AB jest jego podstawą, wierzchołek C leży na symetralnej odcinka AB . Napiszmy równanie tej symetralnej. Można to zrobić na wiele sposobów, my skorzystamy ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez punkt (x0,y0) i prostopadłej do wektora →v = [p,q] .

p(x − x0) + q(y − y0) = 0 ,

W naszej sytuacji mamy → −→ v = AB = [− 3,6] oraz

 ( − 2 − 5 −4 + 2 ) ( 7 ) (x0,y 0) = S = -------, ------- = − -,− 1 . 2 2 2

Zatem symetralna odcinka AB ma równanie

 ( ) − 3 x + 7- + 6(y + 1 ) = 0 / ⋅ 2- 2 3 − 2x − 7 + 4y + 4 = 0 − 2x + 4y − 3 = 0.

Pozostało teraz znaleźć punkt wspólny tej prostej z podaną prostą y = x − 2 . Podstawiamy y = x − 2 do powyższego równania.

− 2x + 4(x − 2) − 3 = 0 11- 2x = 11 ⇐ ⇒ x = 2 .

Stąd y = x − 2 = 7 2 . Zatem C = (11, 7 ) 2 2 .

Sposób II

Szukamy punktu C = (x,y) na podanej prostej, który spełnia równość: |AC | = |CB | (bo trójkąt ABC ma być równoramienny i AB jest jego podstawą). Ponieważ punkt C leży na prostej y = x − 2 jego współrzędne możemy zapisać w postaci C = (x,x − 2) i dostajemy równanie

|AC | = |CB | |AC |2 = |CB |2 2 2 2 2 (x + 2 ) + (x − 2 + 4) = (x+ 5) + (x − 2− 2 ) 2 (x+ 2)2 = (x + 5)2 + (x− 4)2 2 2 2 2 (x + 4x+ 4) = x + 10x + 2 5+ x − 8x + 16 2x 2 + 8x+ 8 = 2x2 + 2x + 4 1 11- 6x = 33 ⇐ ⇒ x = 2 .

Stąd y = x − 2 = 72 i  ( ) C = 112 , 72 .  
Odpowiedź:  11 7 C = ( 2 ,2)

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!