/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Trójkąt/Równoramienny

Zadanie nr 9596990

Podstawą trójkąta równoramiennego ABC jest odcinek o końcach w punktach A = (− 2,− 4) oraz B = (− 4,2) . Jedno z jego ramion zawiera się w prostej o równaniu y = x − 2 . Oblicz współrzędne punktu C .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.


ZINFO-FIGURE


Prosta y = x− 2 powstaje z prostej y = x przez przesunięcie o dwie jednostki w dół, oraz przechodzi przez punkty (0,− 2) , (2,0) .

Sposób I

Szukamy punktu C = (x,y) na podanej prostej, który spełnia równość: |AC | = |BC | (bo trójkąt ABC ma być równoramienny i AB jest jego podstawą). Ponieważ punkt C leży na prostej y = x − 2 jego współrzędne możemy zapisać w postaci C = (x,x − 2) i dostajemy równanie

 2 2 |AC | = |BC | (x + 2 )2 + (x − 2 + 4)2 = (x+ 4)2 + (x − 2− 2 )2 2 2 2 2 (x+ 2) = (x + 4) + (x− 4) 2 (x2 + 4x+ 4) = x2 + 8x + 16 + x 2 − 8x + 16 2x 2 + 8x+ 8 = 2x2 + 32 8x = 24 ⇐ ⇒ x = 3.

Stąd y = x − 2 = 1 i C = (3,1 ) .

Sposób II

Ponieważ trójkąt ABC jest równoramienny i AB jest jego podstawą, wierzchołek C leży na symetralnej odcinka AB . Napiszmy równanie tej symetralnej. Można to zrobić na wiele sposobów, my skorzystamy ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez punkt (x0,y0) i prostopadłej do wektora → v = [p,q] .

p(x − x0) + q(y − y0) = 0 ,

W naszej sytuacji mamy

→ −→ v = AB = B − A = [− 4+ 2,2 + 4] = [− 2,6]

oraz

 ( ) (x ,y ) = S = A-+-B--= −-2-−-4, −-4+-2- = (− 3,− 1). 0 0 2 2 2

Zatem symetralna odcinka AB ma równanie

 − 2(x + 3) + 6(y + 1 ) = 0 / : 6 − 1-x− 1+ y+ 1 = 0 3 1- y = 3x .

Pozostało teraz znaleźć punkt wspólny tej prostej z podaną prostą y = x− 2 . Podstawiamy y = x − 2 do powyższego równania.

 1 x − 2 = -x / ⋅3 3 3x − 6 = x ⇒ x = 3.

Stąd y = x − 2 = 1 i C = (3,1 ) .  
Odpowiedź: C = (3,1)

Wersja PDF
spinner