Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 4315400

Okrąg o równaniu  2 2 o : x + 2x + y + 2y = 14 jest styczny do prostych k : 4y − 3x − 19 = 0 i l : 4y + 3x + 27 = 0 w punktach K i L odpowiednio. Wyznacz równania wszystkich okręgów, które są jednocześnie styczne do okręgu o , prostych k i l , oraz nie przechodzą przez punkty K i L .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Przekształćmy równanie danego okręgu tak, aby zobaczyć jaki ma promień i środek.

 2 2 (x + 2x+ 1)+ (y + 2y+ 1)− 1− 1 = 14 (x+ 1)2 + (y+ 1)2 = 16.

Jest to więc okrąg o środku S = (− 1,− 1) i promieniu r = 4 . Wyznaczmy jeszcze punkt wspólny A danych prostych

{ 4y − 3x − 19 = 0 4y + 3x + 27 = 0

Dodajemy równania stronami i mamy 8y = − 8 , czyli y = − 1 . Stąd

 23 3x = 4y − 19 = − 23 ⇒ x = − -3-

i A = (− 23,− 1) 3 . Możemy teraz naszkicować opisaną sytuację.


PIC


Widać, że będą dwa okręgi, które są jednocześnie styczne do o,k i l – jeden mniejszy, a drugi większy od danego okręgu (w tym miejscu korzystamy z założenia, że szukany okrąg nie przechodzi przez punkty K i L – bez tego założenia byłyby cztery okręgi spełniające warunki zadania). Widać też, że punkty A i S leżą na poziomej prostej y = − 1 , która jest dwusieczną kąta utworzonego przez proste k i l . Środki szukanych okręgów też leżą na tej prostej, więc mają współrzędne postaci S′ = (a,− 1) . Wartość współczynnika a możemy obliczyć, porównując odległość punktu  ′ S od okręgu o i jednej z prostych, powiedzmy k . Musimy zatem mieć

 ′ ′ ∘ -------------------------SS--− 4 = d (S ,k) 2 2 |−-4-−-3a-−-19|- |3a+--23| (a− (− 1)) + (−1 − (− 1)) − 4 = √ -2----2 = 5 / ⋅5 | 4 +| 3 5|a + 1| − 20 = 3 ||a+ 23|| . | 3|

Rozwiązujemy teraz otrzymane równanie – rozważamy trzy przypadki.

Jeżeli a < − 233 , to mamy równanie

− 5(a+ 1)− 20 = − (3a + 23) − 2 = 2a ⇒ a = − 1.

Liczba ta nie spełnia warunku: a < − 23 3 , więc równanie jest sprzeczne w tym przypadku.

Jeżeli  23 − 3 ≤ a < − 1 , to mamy równanie

− 5 (a+ 1)− 2 0 = 3a + 23 − 4 8 = 8a ⇒ a = − 6

Ta liczba spełnia warunek: − 23 ≤ a < −1 3 .

Jeżeli wreszcie a ≥ − 1 , to mamy równanie

5a + 5− 2 0 = 3a + 23 2a = 38 ⇒ a = 19.

Ta liczba również jest rozwiązaniem interesującego nas równania. Mam więc S ′ = (− 6,− 1) lub S′ = (19,− 1) . Promień r′ okręgu możemy w każdym z tych przypadków obliczyć z warunku

r+ r′ = |S′S| ′ ′ 4+ r = |− 6+ 1| lub 4 + r = 19 + 1 r′ = 1 lub r′ = 16

Są więc dwa okręgi spełniające warunki zadania:

(x + 6 )2 + (y + 1)2 = 1 i (x − 19)2 + (y + 1)2 = 256

 
Odpowiedź:  2 2 (x + 6) + (y + 1) = 1 , (x − 19 )2 + (y + 1)2 = 256

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!