/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Okrąg/Różne

Zadanie nr 5692663

Punkt ( 5) S = 1,2 leży wewnątrz figury F opisanej układem nierówności

{ x ≥ 2|y − 3|− 8 x ≤ 10 − 2|y − 2|.

Wyznacz równanie największego okręgu o środku S , który jest zawarty wewnątrz figury F .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Spróbujemy najpierw naszkicować zbiór F . Pierwszą z nierówności możemy zapisać w postaci

{ x ≥ 2(y − 3) − 8 jeżeli y ≥ 3 x ≥ − 2(y − 3) − 8 jeżeli y < 3 { 1x + 7 ≥ y jeżeli y ≥ 3 2 1 y ≥ − 2x − 1 jeżeli y < 3.

Analogicznie rozszyfrowujemy drugą nierówność

{ x ≤ 1 0− 2(y− 2) jeżeli y ≥ 2 x ≤ 1 0+ 2(y− 2) jeżeli y < 2 { y ≤ − 1x+ 7 jeżeli y ≥ 2 1 2 2x − 3 ≤ y jeżeli y < 2.

Dany w treści zadania układ nierówności możemy więc zapisać w postaci

( | y ≤ 1x + 7 jeżeli y ≥ 3 ||{ 2 1 y ≥ − 2x− 1 jeżeli y < 3 || y ≤ − 12x+ 7 jeżeli y ≥ 2 |( 1 y ≥ 2x − 3 jeżeli y < 2.

Szkicujemy teraz 4 pojawiające się w tym układzie nierówności proste:

2y − x − 14 = 0, 2y + x+ 2 = 0, 2y + x − 1 4 = 0, 2y − x + 6 = 0.

i zaznaczmy zbiór F .

PIC

Gdy to zrobimy, okaże się, że jest to równoległobok ABCD o wierzchołkach A = (− 8,3) , B = (2,− 2) , C = (1 0,2) i D = (0,7) . Punkt S rzeczywiście znajduje się wewnątrz tego równoległoboku – obliczmy odległości tego punktu od boków równoległoboku (dzięki temu ustalimy jaki największy okrąg o środku S się w nim mieści).

|5+ 1+ 2| 8 d(S,AB ) = --√--------= √--- 4+ 1 5 |5+ 1− 14| 8 d(S,CD ) = --√---------= √--- 4 + 1 5 |5−--1−--14| -10- d (S,AD ) = √ 4-+-1- = √ 5- d(S,BC ) = |5−√--1+--6|= 1√-0. 4+ 1 5

Mogliśmy też oczywiście zauważyć, że S = A-+B = C+D-- 2 2 jest środkiem symetrii równoległoboku ABCD i obliczyć tylko dwie z tych odległości. Widzimy teraz, że promień największego okręgu zawartego w równoległoboku ABCD jest równy 8 r = √-5 i równanie tego okręgu ma postać

( ) 2 (x − 1)2 + y − 5- = 64. 2 5

 
Odpowiedź: (x − 1)2 + (y − 5 )2 = 64 2 5

Wersja PDF