Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 7041460

Napisz równanie okręgu o środku P = (− 2,− 7) , którego punkty wspólne z okręgiem o równaniu x2 − 8x + y2 + 2y + 7 = 0 są końcami odcinka o długości  √ -- 4 2 .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zapiszmy równanie danego okręgu tak, aby było widać jaki ma środek i promień.

 2 2 x − 8x + y + 2y + 7 = 0 (x − 4)2 + (y+ 1)2 = − 7+ 16 + 1 = 10 .

Jest to więc okrąg o środku S = (4,− 1) i promieniu  √ --- r = 10 . Szkicujemy tę sytuację.


PIC


Sposób I

Z rysunku powinno być jasne, że będą dwa okręgi spełniające warunki zadania. Odległość między środkami okręgów jest równa

 ∘ ----------------------- √ -------- √ -- SP = (− 2 − 4)2 + (− 7 + 1)2 = 36 + 3 6 = 6 2.

Zajmijmy się najpierw sytuacją, gdy wspólna cięciwa AB obu okręgów przecina odcinek SP w punkcie C . Mamy wtedy

 ∘ ----(------)--- ∘ ------------ 1 2 √ ------- √ -- SC = SA 2 − AC 2 = r2 − --AB = 10 − 8 = 2 √ -- √ -- 2√ -- P C = SP − SC = 6 2− 2 = 5 2 ∘ ------------ √ ------- √ --- PA = PC 2 + AC 2 = 5 0+ 8 = 58.

W tej sytuacji szukany okrąg ma więc równanie

(x + 2)2 + (y + 7)2 = 58.

Zajmijmy się teraz drugą sytuacją, gdy punkt wspólny D cięciwy AB i prostej SP leży poza odcinkiem SP . Wtedy

 ∘ --------------- ∘ ------------ ( 1 ) 2 √ ------- √ -- SD = SA 2 − AC 2 = r2 − -AB = 10 − 8 = 2 √ -- √ -- 2√ -- P D = SP + SD = 6 2 + 2 = 7 2 ∘ ------------ √ ------- √ ---- PA = P D 2 + AD 2 = 98 + 8 = 106.

Drugi z szukanych okręgów ma więc równanie

(x + 2)2 + (y+ 7)2 = 106.

Sposób II

Szukamy okręgu postaci

r2 = (x + 2)2 + (y + 7)2 = x 2 + 4x + y2 + 14y + 53.

Punkty wspólne A i B tego okręgu i okręgu danego w treści zadania są rozwiązaniami układu równań

{ 2 2 x − 8x + y + 2y+ 7 = 0 x 2 + 4x + y2 + 14y + 53 − r2 = 0

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy

 r2 − 46 12x + 12y + 4 6− r2 = 0 ⇒ y = −x + ------- . 12

Żeby nie męczyć się z ułamkami oznaczmy t = r2−46 12 . Podstawiamy teraz y = −x + t do pierwszego równania układu.

 2 2 2 2 0 = x − 8x + (−x + t) + 2(−x + t)+ 7 = 2x − (10 + 2t)x + (t + 2t + 7)

Jeżeli x1,x2 są rozwiązaniami powyższego równania, to A = (x1,−x 1 + t) i B = (x2,−x 2 + t) są punktami wspólnymi dwóch okręgów. Spróbujmy rozszyfrować informację o długości cięciwy AB .

 2 2 2 2 3 2 = AB = (x 2 − x 1) + (x1 − x2) = 2(x1 − x2) / : 2 1 6 = (x1 − x2)2 = (x1 + x2)2 − 4x1x 2.

Na mocy wzorów Viète’a mamy więc równanie.

 2 2 2 2 16 = (x1 + x 2) − 4x 1x2 = (5 + t) − 2(t + 2t + 7) = −t + 6t+ 11 t2 − 6t+ 5 = 0 Δ = 36 − 20 = 1 6 6-−-4- 6-+-4- t = 2 = 1 lub t = 2 = 5.

Stąd  2 r = 12t + 46 = 58 lub  2 r = 12t + 46 = 106 .  
Odpowiedź:  2 2 (x + 2) + (y + 7) = 58 lub (x + 2)2 + (y + 7)2 = 1 06

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!