Zadanie nr 7924049

Okrąg o równaniu 2 2 (x − 1 ) + (y + 2) = 1 przecina jedną z gałęzi hiperboli o równaniu f(x) = x2−2 − 1 , gdzie x ⁄= 2 , w punktach A (0,− 2) i B(1,− 3) .

Narysuj obie krzywe we wspólnym układzie współrzędnych.
Na drugiej gałęzi hiperboli wyznacz współrzędne takiego punktu , który jest równo odległy od punktów i .

Rozwiązanie

Okrąg 2 2 (x − 1) + (y + 2) = 1 ma środek w punkcie (1,− 2) i promień 1. Hiperbola f(x ) = x2−2-− 1 powstaje ze zwykłej hiperboli przez przesunięcie o wektor [2,− 1] (czyli przesunięcie o dwie jednostki w prawo i jedną w dół). Korzystając z tych informacji możemy naszkicować rysunek.

ZINFO-FIGURE

Sposób I

Plan jest następujący. Wyliczymy symetralną odcinka (czyli zbiór punktów, które są w równej odległości od i ) i znajdziemy jej punkt przecięcia z drugą gałęzią hiperboli.

Aby wyliczyć symetralną odcinka , piszemy wektor AB = [1,− 1] . Środek odcinka jest równy

( ) ( ) 0 + 1 − 2− 3 1 5 ------,------- = -,− -- . 2 2 2 2

Równanie prostej prostopadłej do wektora [v1,v2] i przechodzącej przez punkt (x0,y0) to

v1(x − x0) + v2(y − y0) = 0 .

W naszej sytuacji mamy

(x − 1) − (y + 5-) = 0 2 2 x − y − 3 = 0 y = x − 3.

Jeżeli ktoś nie chce korzystać z powyższego wzoru, to może zamiast niego napisać równanie prostej , a potem prostej prostopadłej do i przechodzącej przez punkt .

Pozostało rozwiązań układ równań

{ --2- y = x− 2 − 1 y = x − 3 { x − 3 = x−22 − 1 y = x − 3

co prowadzi do równania

(x − 2) = --2--- x− 2 (x − 2)2 = 2

Czyli √ -- x = 2 + 2 lub √ -- x = − 2 + 2 . Jeżeli punkt ma być na prawej gałęzi hiperboli, to musi spełniać x > 2 . Otrzymujemy stąd, że szukany punkt to √ -- √ -- ( 2 + 2, 2 − 1) (bo y = x − 3 ).