/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Okrąg/Różne

Zadanie nr 7924049

Okrąg o równaniu  2 2 (x − 1 ) + (y + 2) = 1 przecina jedną z gałęzi hiperboli o równaniu f(x) = x2−2 − 1 , gdzie x ⁄= 2 , w punktach A (0,− 2) i B(1,− 3) .

  • Narysuj obie krzywe we wspólnym układzie współrzędnych.

  • Na drugiej gałęzi hiperboli wyznacz współrzędne takiego punktu C , który jest równo odległy od punktów A i B .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Okrąg  2 2 (x − 1) + (y + 2) = 1 ma środek w punkcie (1,− 2) i promień 1. Hiperbola f(x ) = x2−2-− 1 powstaje ze zwykłej hiperboli 2x przez przesunięcie o wektor [2,− 1] (czyli przesunięcie o dwie jednostki w prawo i jedną w dół). Korzystając z tych informacji możemy naszkicować rysunek.


ZINFO-FIGURE


Sposób I

Plan jest następujący. Wyliczymy symetralną odcinka AB (czyli zbiór punktów, które są w równej odległości od A i B ) i znajdziemy jej punkt przecięcia z drugą gałęzią hiperboli.

Aby wyliczyć symetralną odcinka AB , piszemy wektor AB = [1,− 1] . Środek S odcinka AB jest równy

( ) ( ) 0 + 1 − 2− 3 1 5 ------,------- = -,− -- . 2 2 2 2

Równanie prostej prostopadłej do wektora [v1,v2] i przechodzącej przez punkt (x0,y0) to

v1(x − x0) + v2(y − y0) = 0 .

W naszej sytuacji mamy

(x − 1) − (y + 5-) = 0 2 2 x − y − 3 = 0 y = x − 3.

Jeżeli ktoś nie chce korzystać z powyższego wzoru, to może zamiast niego napisać równanie prostej AB , a potem prostej prostopadłej do AB i przechodzącej przez punkt S .

Pozostało rozwiązań układ równań

{ --2- y = x− 2 − 1 y = x − 3 { x − 3 = x−22 − 1 y = x − 3

co prowadzi do równania

(x − 2) = --2--- x− 2 (x − 2)2 = 2

Czyli  √ -- x = 2 + 2 lub  √ -- x = − 2 + 2 . Jeżeli punkt ma być na prawej gałęzi hiperboli, to musi spełniać x > 2 . Otrzymujemy stąd, że szukany punkt to  √ -- √ -- ( 2 + 2, 2 − 1) (bo y = x − 3 ).

Sposób II

Tym razem przyjmijmy, że C = (x,y) i sprawdzimy kiedy AC = BC . Ponieważ punkt C leży na hiperboli, mamy

 --2--- 4−--x- y = x − 2 − 1 = x− 2.

Sprawdźmy teraz kiedy AC = BC . Od razu porównujemy kwadraty odległości.

 ( ) ( ) 2 4−--x- 2 2 4-−-x- 2 x + x − 2 + 2 = (x − 1) + x − 2 + 3 ( ) 2 ( ) 2 2 2 4-−-x- 4-−-x- x − (x − 1) = x − 2 + 3 − x − 2 + 2 ( ) ( ) (x − (x − 1))(x + x − 1) = 4-−-x-+ 3− 4−--x-− 2 4-−-x-+ 3 + 4−--x-+ 2 x − 2 x− 2 x − 2 x− 2 4 − x 2x − 1 = 2 ⋅------+ 5 / ⋅(x − 2) x − 2 2x2 − x − 4x + 2 = 8− 2x + 5x − 10 2 2x − 8x + 4 = 0 x2 − 4x + 2 = 0 Δ = 16− 8 =-8 -- 4 − 2 √ 2 √ -- 4 + 2√ 2 √ -- x = --------- = 2 − 2 ∨ x = ---------= 2+ 2. 2 2

Jak w poprzednim sposobie zauważamy, że musi być  √ -- x = 2 + 2 . Stąd

 √ -- √ -- 4− x 4− 2− 2 2 2− 2 √ -- y = ------= ----√-------= ---------= 2 − 1. x − 2 2 2

 
Odpowiedź:  √ -- √ -- ( 2 + 2, 2 − 1)

Wersja PDF
spinner