Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 8015459

Dane są figury:

 2 2 F1 = {x ∈ R ,y ∈ R|x + y − 6y ≤ 0} F2 = {x ∈ R ,y ∈ R|y ≤ 6 − |x|}.
  • Narysuj figury F 1 i F 2 oraz wyznacz figurę F = F ∩ F 1 2 .
  • Oblicz pole figury F
Wersja PDF
Rozwiązanie

Ponieważ

 2 2 2 2 x + y − 6y = x + (y − 3) − 9,

figura F 1 jest wnętrzem okręgu o środku (0 ,3) i promieniu 3.

Druga figura to wszystko co znajduje się pod wykresem funkcji y = 6− |x| . Funkcja ta to y = |x| odbita względem osi Ox i przesunięta o 6 jednostek w górę.

  • Bez trudu teraz rysujemy obie figury i zaznaczamy część wspólną.
    PIC

     
    Odpowiedź: Rysunek

  • Z rysunku widać, że funkcja y = 6− |x | przecina okrąg w punktach A (− 3,3) , B (3,3) i C(0,6 ) . Jeżeli chcielibyśmy to wyliczyć a nie odczytywać z wykresu, to wystarczy wziąć prawy kawałek wykresu funkcji y = 6− x i wstawić do równania okręgu i rozwiązać otrzymane równanie; podobnie dla lewej części wykresu y = 6+ x . Ponieważ AB jest średnicą okręgu, pole niebieskich odcinków kołowych (opartych na łukach AC i CB jest równe różnicy pola połowy okręgu i trójkąta ABC , czyli jest równe
    1-⋅9π − 1-⋅6 ⋅3 = 9-π − 9. 2 2 2

    Wyliczone pole to dokładnie tyle ile trzeba odjąć od pola całego koła aby otrzymać pole F = F ∩ F 1 2 .

     9π 9π PF = 9 π − --- + 9 = ---+ 9. 2 2

     
    Odpowiedź: 9π-+ 9 2

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!