Dane są figury:F_1={xϵ R, yϵ R x^2 + y^2 - 6y≤... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Różne, 8015459

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Okrąg/Różne

Zadanie nr 8015459

Dane są ﬁgury:

2 2 F1 = {x ∈ R ,y ∈ R|x + y − 6y ≤ 0} F2 = {x ∈ R ,y ∈ R|y ≤ 6 − |x|}.

Narysuj ﬁgury $F 1$ i $F 2$ oraz wyznacz ﬁgurę $F = F ∩ F 1 2$ .
Oblicz pole ﬁgury $F$

Rozwiązanie

Ponieważ

2 2 2 2 x + y − 6y = x + (y − 3) − 9,

ﬁgura $F 1$ jest wnętrzem okręgu o środku $(0 ,3)$ i promieniu 3.

Druga ﬁgura to wszystko co znajduje się pod wykresem funkcji $y = 6− |x|$ . Funkcja ta to $y = |x|$ odbita względem osi $Ox$ i przesunięta o 6 jednostek w górę.

Bez trudu teraz rysujemy obie ﬁgury i zaznaczamy część wspólną.

Odpowiedź: Rysunek
Z rysunku widać, że funkcja $y = 6− |x |$ przecina okrąg w punktach $A (− 3,3)$ , $B (3,3)$ i $C(0,6 )$ . Jeżeli chcielibyśmy to wyliczyć a nie odczytywać z wykresu, to wystarczy wziąć prawy kawałek wykresu funkcji $y = 6− x$ i wstawić do równania okręgu i rozwiązać otrzymane równanie; podobnie dla lewej części wykresu $y = 6+ x$ . Ponieważ $AB$ jest średnicą okręgu, pole niebieskich odcinków kołowych (opartych na łukach $AC$ i $CB$ jest równe różnicy pola połowy okręgu i trójkąta $ABC$ , czyli jest równe $1-⋅9π − 1-⋅6 ⋅3 = 9-π − 9. 2 2 2$
Wyliczone pole to dokładnie tyle ile trzeba odjąć od pola całego koła aby otrzymać pole $F = F ∩ F 1 2$ .
$9π 9π PF = 9 π − --- + 9 = ---+ 9. 2 2$

Odpowiedź: $9π-+ 9 2$