Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 8906304

Dane są figury:

 2 2 F1 = {x ∈ R,y ∈ R|x + y − 6x ≤ 0} F2 = {x ∈ R,y ∈ R|y ≤ 6 − |x|}.
  • Narysuj figury F 1 i F 2 oraz wyznacz figurę F = F ∩ F 1 2 .
  • Oblicz pole figury F
Wersja PDF
Rozwiązanie

Ponieważ

 2 2 2 2 x + y − 6x = (x − 3) + y − 9,

figura F 1 jest wnętrzem okręgu o środku (3 ,0) i promieniu 3.

Druga figura to wszystko co znajduje się pod wykresem funkcji y = 6− |x| . Funkcja ta to y = |x| odbita względem os Ox i przesunięta o 6 jednostek w górę.

  • Bez trudu teraz rysujemy obie figury i zaznaczamy część wspólną.
    PIC

     
    Odpowiedź: Rysunek

  • Z rysunku widać, że funkcja y = 6− |x | przecina okrąg w punktach A (3,3) i B(6,0 ) . Jeżeli chcielibyśmy to wyliczyć a nie odczytywać z wykresu, to wystarczy wziąć prawy kawałek wykresu funkcji y = 6 − x i wstawić do równania okręgu. Zaznaczony trójkąt AOB jest prostokątny, więc łuk AB to dokładnie 14 całego okręgu. Zatem wycinek kołowy który mu odpowiada ma pole 9π- 4 . Aby otrzymać pole odcinka kołowego opartego na tym łuku musimy odjąć pole trójkąta AOB . Zatem pole odcinka (czyli F1 ∖ F2 ) to
    9π 9 ---− -. 4 2

    Wyliczone pole to dokładnie tyle ile trzeba odjąć od pola całego koła aby otrzymać pole F = F1 ∩ F2 .

     9π 9 27π 9 PF = 9 π − --- + --= ---- + --. 4 2 4 2

     
    Odpowiedź: 274π + 92

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!