/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Różne

Zadanie nr 2984212

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Udowodnij nierówność Bernoulliego: jeżeli x ≥ −1 i r ≥ 1 , to (1 + x)r ≥ 1 + rx .

Rozwiązanie

Podstawmy w nierówności, którą mamy udowodnić t = x + 1 . Musimy zatem udowodnić nierówność

tr ≥ 1 + r(t− 1) = rt− r+ 1

przy założeniu: t ≥ 0 i r ≥ 1 . Jeżeli r = 1 , to nierówność jest oczywiście spełniona, więc załóżmy dalej, że r > 1 .

Badamy funkcję f(t) = tr − rt+ r− 1 . Liczymy jej pochodną.

( ) ′ r−1 r−1 f (t) = rt − r = r t − 1 .

Zauważmy teraz, że (przy naszych założeniach o r i t ) f′(t) zmienia znak w t = 1 z ujemnego na dodatni, więc f(t) ma w t = 1 minimum. Stąd

f(t) ≥ f(1) = 1− r+ r − 1 = 0 ,

a to jest dokładnie nierówność, którą mieliśmy udowodnić.

Wersja PDF