/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Zadania na ekstrema/Najmniejsze pole

Zadanie nr 3509037

Należy zaprojektować wymiary prostokątnego placu zabaw, tak aby szerokość trawnika wzdłuż dłuższych brzegów placu była równa 1,5 m, a szerokość trawnika wzdłuż krótszych brzegów placu była równa 2,5 m (zobacz rysunek – plac zabaw zaznaczono kolorem szarym). Sam plac zabaw ma mieć powierzchnię  2 15 00 m . Wyznacz takie wymiary placu zabaw, przy których powierzchnia placu wraz z trawnikami jest najmniejsza.


PIC


Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy przez x długość krótszego boku placu zabaw. Wtedy dłuższy bok tego placu ma długość y = 150x0- . Musimy teraz znaleźć najmniejszą wartość funkcji

 ( ) f(x) = (x+ 3)(y+ 5) = (x + 3) ⋅ 1500-+ 5 = 1 500+ 5x + 450-0+ 15 x x

określonej dla  √ ----- x ∈ (0, 1500 ) (bo x ma być krótszym bokiem placu zabaw). Liczymy pochodną

 2 f′(x) = 5 − 4500-= 5⋅ x-−--900-= 5 ⋅ (x-−-3-0)(x+-30). x2 x2 x2

Widać teraz, że pochodna jest ujemna w przedziale (0,3 0) i dodatnia w przedziale  √ ----- (3 0, 1500) . To oznacza, że funkcja f maleje w przedziale (0,3 0⟩ i rośnie w przedziale  √ ----- ⟨30, 15 00) . W takim razie najmniejsze pole otrzymamy dla x = 3 0 . Dłuższy bok placu zabaw ma wtedy długość

 1500 y = -----= 50 m . x

 
Odpowiedź: 30 m i 50 m.

Wersja PDF
spinner