Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 3509037

Należy zaprojektować wymiary prostokątnego placu zabaw, tak aby szerokość trawnika wzdłuż dłuższych brzegów placu była równa 1,5 m, a szerokość trawnika wzdłuż krótszych brzegów placu była równa 2,5 m (zobacz rysunek – plac zabaw zaznaczono kolorem szarym). Sam plac zabaw ma mieć powierzchnię  2 15 00 m . Wyznacz takie wymiary placu zabaw, przy których powierzchnia placu wraz z trawnikami jest najmniejsza.


PIC


Wersja PDF
Rozwiązanie

Oznaczmy przez x długość krótszego boku placu zabaw. Wtedy dłuższy bok tego placu ma długość y = 150x0- . Musimy teraz znaleźć najmniejszą wartość funkcji

 ( ) f(x) = (x+ 3)(y+ 5) = (x + 3) ⋅ 1500-+ 5 = 1 500+ 5x + 450-0+ 15 x x

określonej dla  √ ----- x ∈ (0, 1500 ) (bo x ma być krótszym bokiem placu zabaw). Liczymy pochodną

 2 f′(x) = 5 − 4500-= 5⋅ x-−--900-= 5 ⋅ (x-−-3-0)(x+-30). x2 x2 x2

Widać teraz, że pochodna jest ujemna w przedziale (0,3 0) i dodatnia w przedziale  √ ----- (3 0, 1500) . To oznacza, że funkcja f maleje w przedziale (0,3 0⟩ i rośnie w przedziale  √ ----- ⟨30, 15 00) . W takim razie najmniejsze pole otrzymamy dla x = 3 0 . Dłuższy bok placu zabaw ma wtedy długość

 1500 y = -----= 50 m . x

 
Odpowiedź: 30 m i 50 m.

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!