Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 4648263

Na bokach prostokąta o obwodzie 16 cm opisano, jako na średnicach, półokręgi leżące na zewnątrz prostokąta. Zbadaj, dla jakich długości boków prostokąta, pole figury ograniczonej krzywą złożoną z tych czterech półokręgów jest najmniejsze. Oblicz to pole

Wersja PDF
Rozwiązanie

Naszkicujmy sobie opisaną sytuację i oznaczmy boki prostokąta przez a i b .


PIC


Wiemy, że 2a + 2b = 16 , czyli a = 8− b . Pole figury ograniczonej przez cztery dorysowane łuki jest równe sumie pól kół o średnicach a i b (bo mamy po dwie połówki takich kół) i pola prostokąta, czyli

 a2 b2 π 2 b2 P (b) = ab + π 4--+ π 4--= (8 − b)b + -4(8 − b) + π 4--= ( π ) = --− 1 b2 + (8 − 4π )b+ 16π . 2

Pozostało wyznaczyć wartość b ∈ (0,8) (bo a > 0 ), dla której wartość P (b ) jest najmniejsza. Ponieważ wykresem funkcji P (b) jest parabola o ramionach skierowanych do góry, więc przyjmuje ona wartość najmniejszą w wierzchołku paraboli, czyli w punkcie

b = −-8-+-4π- = 4 . π − 2

Mamy wtedy

P (4 ) = 8π − 1 6+ 3 2− 16π + 16 π = 8 π + 16.

 
Odpowiedź: Boki: 4 cm i 4 cm, pole figury:  2 (8π + 16) cm

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!