Bok kwadratu ABCD ma długość 1. Na bokach BC i CD wybrano odpowiednio... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Najmniejsze pole, 4825283

Strona główna

Forum

Generator arkuszy

Kreator zestawów

Baza sprawdzianów

Plakaty matematyczne

Zadania

Zadania na ekstrema

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Zadania na ekstrema/Najmniejsze pole

Zadanie nr 4825283

Bok kwadratu $ABCD$ ma długość 1. Na bokach $BC$ i $CD$ wybrano odpowiednio punkty $E$ i $F$ umieszczone tak, by $|CE | = 2|DF |$ . Oblicz wartość $x = |DF |$ , dla której pole trójkąta $AEF$ jest najmniejsze.

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku

Sposób I

Pole trójkąta $AEF$ będzie najmniejsze jeżeli suma pól trójkątów prostokątnych $ABE ,ECF$ i $ADF$ będzie największa. Szukamy zatem wartości największej funkcji

P (x) = PABE + PECF + PADF = 1 1 1 = --⋅1 ⋅(1 − 2x) + --⋅2x ⋅(1 − x) + --⋅1 ⋅x = 2 ( 2 ) ( 2 ) 1- 2 1- 2 = 2 1 − 2x + 2x− 2x + x = 2 − 2x + x + 1

określonej dla $( ) x ∈ 0, 12$ . Wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół, więc największą wartość otrzymamy w wierzchołku, czyli dla

−b − 1 1 x = ----= ----= -. 2a − 4 4

Na koniec pozostaje zauważyć, że otrzymana wartość $x$ należy do dziedziny funkcji $P(x )$ .

Sposób II

Dorysujmy na płaszczyźnie układ współrzędnych tak, aby $A = (0,0)$ i $C = (1,1)$ . Wtedy $F = (x ,1)$ i $E = (1 ,1 − 2x )$ . Zatem ze wzoru na pole trójkąta o wierzchołkach $A = (xA,yA )$ , $B = (xB,yB )$ i $C = (xC ,yC)$ .