/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Zadania na ekstrema/Najmniejsze pole

Zadanie nr 5577813

Dany jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości a . Punkty A 1 , B 1 i C1 należą do boków AB , BC i CA , przy czym |AA 1| = |BB1| = |CC 1| = x .

  • Wyraź pole trójkąta A B C 1 1 1 jako funkcję zmiennej x . Wyznacz dziedzinę tej funkcji.
  • Wyznacz wartość x , dla której pole trójkąta A1B 1C1 jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.
Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

PIC

  • Pole trójkąta A 1B 1C1 obliczamy odejmując od pola trójkąta ABC pola trójkątów AA C ,BB A 1 1 1 1 i CC B 1 1 . Korzystamy ze wzoru na pole z sinusem.
    PA 1B1C1 = PABC√ -− PAA 1C1 − PBB1A1 − PCC 1B1 =√PABC −√3PAA 1C1 a2 3 1 ∘ a2 3 3 3x(a − x) = -----− 3⋅ -x(a − x )⋅sin 60 = ------− -------------= √ 4- 2 4 4 --3- 2 2 = 4 (a − 3ax + 3x )

    Dziedziną tej funkcji jest przedział ⟨0,a⟩ .  
    Odpowiedź: √-3 2 2 P(x ) = 4 (a − 3ax + 3x ) , dziedzina: ⟨0,a⟩

  • Funkcja P (x) to zwykła funkcja kwadratowa, więc jej wykresem jest parabola o ramionach skierowanych w górę i wierzchołku w punkcie
    3a- a- xw = 6 = 2.

    Dla takiej wartości x otrzymamy najmniejsze pole i jest ono wtedy równe

    ( ) √ --( ) √ -( 2 ) P a- = --3- a2 − 3ax + 3x 2 = --3- a2 − 3a ⋅ a-+ 3 ⋅ a = 2 4 4 2 4 √ 3-( 3 ) a2√ 3- = ---- a2 − -a2 = ------. 4 4 16

     
    Odpowiedź: a x = 2 , √- a2-3 Pmin = 16

Wersja PDF