Zadanie nr 6009387

Drut o długości 72 cm rozcięto na dwa kawałki i z każdego kawałka zbudowano brzeg trójkąta równoramiennego, przy czym stosunek długości ramienia do długości podstawy w jednym trójkącie wynosi 5:8, a w drugim 13:10. Jakie obwody mają te trójkąty jeżeli suma ich pól jest najmniejsza z możliwych?

Rozwiązanie

Oznaczmy długości ramion otrzymanych trójkątów przez i odpowiednio.

Z podanych informacji, podstawy tych trójkątów mają długości 85 a i 1103b odpowiednio. Wiemy zatem, że

2a+ 8a + 2b + 10-b = 72 5 13 18 3 6 65 --a + ---b = 72 / ⋅--- 5 1 3 18 13a+ 10b = 26 0 10 a = 20 − 13-b.

Aby obliczyć pola otrzymanych trójkątów prostokątnych, liczymy ich wysokości z twierdzenia Pitagorasa (inny sposób, to zastosowanie wzoru Herona).

∘ ---------- ha = a2 − 16a 2 = 3a ⇒ Pa = 12-a2 ∘ -----25---- 5 25 25 12 60 hb = b2 − ----a2 = ---b ⇒ Pb = ----b2. 169 13 1 69

Musimy zatem znaleźć wartość b ∈ (0,26) (bo a > 0 ), dla której funkcja

( )2 f (b) = 12-a2 + 6-0-b2 = 12- 20− 10b + -60-b2 = 25 169 25 13 16 9 ( 12 10 0 60 ) 12 10 1 2 = ---⋅----+ ---- b2 − 2⋅ ---⋅20 ⋅--b + 20 2 ⋅-- = 25 16 9 169 25 13 2 5 10-8 2 192- = 16 9b − 13 b+ 192.

przyjmuje najmniejszą wartość. Ponieważ wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych do góry, wartość najmniejszą przyjmuje ona w wierzchołku, czyli w punkcie