Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 6009387

Drut o długości 72 cm rozcięto na dwa kawałki i z każdego kawałka zbudowano brzeg trójkąta równoramiennego, przy czym stosunek długości ramienia do długości podstawy w jednym trójkącie wynosi 5:8, a w drugim 13:10. Jakie obwody mają te trójkąty jeżeli suma ich pól jest najmniejsza z możliwych?

Wersja PDF
Rozwiązanie

Oznaczmy długości ramion otrzymanych trójkątów przez a i b odpowiednio.


PIC


Z podanych informacji, podstawy tych trójkątów mają długości 85 a i 1103b odpowiednio. Wiemy zatem, że

2a+ 8a + 2b + 10-b = 72 5 13 18 3 6 65 --a + ---b = 72 / ⋅--- 5 1 3 18 13a+ 10b = 26 0 10 a = 20 − 13-b.

Aby obliczyć pola otrzymanych trójkątów prostokątnych, liczymy ich wysokości z twierdzenia Pitagorasa (inny sposób, to zastosowanie wzoru Herona).

 ∘ ---------- ha = a2 − 16a 2 = 3a ⇒ Pa = 12-a2 ∘ -----25---- 5 25 25 12 60 hb = b2 − ----a2 = ---b ⇒ Pb = ----b2. 169 13 1 69

Musimy zatem znaleźć wartość b ∈ (0,26) (bo a > 0 ), dla której funkcja

 ( )2 f (b) = 12-a2 + 6-0-b2 = 12- 20− 10b + -60-b2 = 25 169 25 13 16 9 ( 12 10 0 60 ) 12 10 1 2 = ---⋅----+ ---- b2 − 2⋅ ---⋅20 ⋅--b + 20 2 ⋅-- = 25 16 9 169 25 13 2 5 10-8 2 192- = 16 9b − 13 b+ 192.

przyjmuje najmniejszą wartość. Ponieważ wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych do góry, wartość najmniejszą przyjmuje ona w wierzchołku, czyli w punkcie

 192 13-- 192- 169- 104- b = 216-= 13 ⋅ 216 = 9 . 169

Cały obwód trójkąta o ramieniu b jest więc równy

 10 36 2b + ---b = ---b = 32. 13 13

Trójkąt o ramieniu a ma więc obwód 72 − 3 2 = 40 .  
Odpowiedź: 40 cm i 32 cm

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!