/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Zadania na ekstrema/Najmniejsze pole

Zadanie nr 7679450

Drut o długości 28 cm należy podzielić na dwie części i z jednej zrobić kwadratową ramkę, a z drugiej ramkę prostokątną, której jeden bok jest trzy razy dłuższy od drugiego. Jak należy podzielić drut, jeżeli chcemy, aby suma pól otrzymanego kwadratu i prostokąta była najmniejsza?

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy bok otrzymanego kwadratu przez a , a boki otrzymanego prostokąta przez b i 3b .

PIC

Wiemy, że 4a+ 8b = 28 , czyli a = 7 − 2b . Chcemy znaleźć wartość b ∈ (0, 72) (bo ma być a > 0 ), dla której funkcja

f (b) = a2 + 3b2 = (7 − 2b)2 + 3b2 = 7b2 − 28b+ 49 = 7(b 2 − 4b + 7)

przyjmuje najmniejszą wartość. Wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w górę, a więc wartość najmniejszą przyjmuje w wierzchołku paraboli, czyli w punkcie

b = 4-= 2. w 2

 
Odpowiedź: Optymalny podział: kwadrat o boku 3 cm i prostokąt 2 cm x 6 cm

Wersja PDF