/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Zadania na ekstrema/Najmniejsze pole

Zadanie nr 7924898

Suma długości dwóch boków trójkąta jest równa 12 cm, a kąt między tymi bokami ma miarę 1 20∘ . Oblicz jakie powinny być długości boków tego trójkąta aby jego pole było największe.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli oznaczymy długości boków, o których mowa w zadaniu, przez a i b to mamy b = 12− a .

PIC

Ze wzoru na pole trójkąta mamy

√ -- √ -- P(a) = 1ab sin 120∘ = 1-⋅--3ab = --3a (12− a). 2 2 2 4

Pozostało znaleźć wartość a ∈ (0,1 2) , dla której P(a ) przyjmuje największą wartość. Ponieważ wykresem funkcji P(a ) jest parabola o ramionach skierowanych w dół i miejscach zerowych 0 i 12, to przyjmuje ona wartość największą w wierzchołku paraboli, czyli w punkcie a = 6 (środek odcinka łączącego miejsca zerowe).

Długość trzeciego boku trójkąta możemy wyliczyć z twierdzenia cosinusów

∘ ----------- ∘ --------------------------- 1 √ -- 62 + 62 − 2⋅ 6⋅6 ⋅cos 120∘ = 72+ 72⋅ --= 6 3. 2

 
Odpowiedź: 6 cm, 6 cm i √ -- 6 3 cm

Wersja PDF