Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 3309635

Trójkąt o bokach długości 17, 28 i 33 obraca się dookoła najdłuższego boku. Oblicz objętość powstałej bryły.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od rysunku.


PIC


Otrzymana bryła składa się z dwóch stożków o wspólnej podstawie. Aby obliczyć ich objętości musimy wyznaczyć długość r promienia tej podstawy. Zrobimy to na dwa sposoby.

Sposób I

Jeżeli oznaczymy BE = x , to wyliczając długość odcinka AE z twierdzenia Pitagorasa w trójkątach AEB i AED mamy równanie

AB 2 − BE 2 = AD 2 − DE 2 2 2 289 − x = 784 − (33 − x) 289 − x 2 = 784 − 1089 + 66x − x2 66x = 594 x = 9.

Stąd

r2 = AB 2 − x 2 = 289 − 81 = 208.

Stąd szukana objętość wynosi

 1- 2 1- 2 2 V = 3πr x+ 3πr (33 − x) = 1 1πr = 2 288π .

Sposób II

Długość promienia r to dokładnie wysokość opuszczona na bok BD w trójkącie ABD . Aby ją wyznaczyć wystarczy znać pole trójkąta, a to możemy wyliczyć ze wzoru Herona. Mamy  1 p = 2(a + b + c) = 39 oraz

 ∘ ----------------------- √ ------------- √ --- P = p(p − a)(p − b)(p− c) = 39 ⋅22 ⋅11⋅ 6 = 66 13.

Stąd

 1- P = 2 BD ⋅ r √ --- 33 66 13 = ---r √ ---2 r = 4 13 2 r = 20 8.

Dalej liczymy jak w poprzednim sposobie.  
Odpowiedź: V = 228 8π

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!