Zadanie nr 7663410

Trójkąt o bokach długości 3, 5 i 7 obraca się dookoła najdłuższego boku. Oblicz objętość powstałej bryły.

Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od rysunku.

Otrzymana bryła składa się z dwóch stożków o wspólnej podstawie. Aby obliczyć ich objętości musimy wyznaczyć długość promienia tej podstawy. Zrobimy to na dwa sposoby.

Sposób I

Jeżeli oznaczymy BE = x , to wyliczając długość odcinka z twierdzenia Pitagorasa w trójkątach AEB i AED mamy równanie

AB 2 − BE 2 = AD 2 − DE 2 9 − x2 = 25 − (7 − x )2 2 2 9 − x = 25 − 49 + 1 4x− x 33 = 1 4x 33 x = --. 14

Stąd

33 2 67 5 r2 = AB 2 − x2 = 9 − ----= ----. 196 19 6

Stąd szukana objętość wynosi

1 2 1 2 7 2 225 V = -πr x + --πr (7 − x) = -πr = ----π. 3 3 3 28

Sposób II

Długość promienia to dokładnie wysokość opuszczona na bok w trójkącie ABD . Aby ją wyznaczyć wystarczy znać pole trójkąta, a to możemy wyliczyć ze wzoru Herona. Mamy 1 15 p = 2(a + b + c) = 2 oraz