Zadanie nr 8099890

Trójkąt o bokach długości 5, 8 i 9 obraca się dookoła najdłuższego boku. Oblicz objętość powstałej bryły.

Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od rysunku.

Otrzymana bryła składa się z dwóch stożków o wspólnej podstawie. Aby obliczyć ich objętości musimy wyznaczyć długość promienia tej podstawy. Zrobimy to na dwa sposoby.

Sposób I

Jeżeli oznaczymy BE = x , to obliczając długość odcinka z twierdzenia Pitagorasa w trójkątach AEB i AED mamy równanie

AB 2 − BE 2 = AD 2 − DE 2 2 5− x 2 = 64 − (9− x)2 2 2 2 5− x = 64 − 81 + 18x − x 1 8x = 42 x = 7. 3

Stąd

49 17 6 r2 = AB 2 − x2 = 25 − ---= ----. 9 9

Stąd szukana objętość wynosi

1 2 1 2 2 176 V = --πr x + -πr (9 − x ) = 3πr = ----π. 3 3 3

Sposób II

Długość promienia to dokładnie wysokość opuszczona na bok w trójkącie ABD . Aby ją wyznaczyć wystarczy znać pole trójkąta, a to możemy obliczyć ze wzoru Herona. Mamy 1 p = 2(a + b + c) = 11 oraz