/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Inne bryły/Obrotowe

Zadanie nr 8104953

Trapez prostokątny obraca się wokół boku tworzącego z podstawami kąty proste. Podstawy trapezu mają długość odpowiednio 10 cm i 7 cm. Pole trapezu wynosi 68 cm 2 . Oblicz objętość otrzymanej bryły.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rysujemy najpierw rysunek.

PIC

Bryła którą otrzymamy to ścięty stożek, którego promienie wynoszą 7 i 10 odpowiednio. Jego wysokość to dokładnie wysokość trapezu, możemy więc ją obliczyć z podanego pola.

10-+-7- 68 = 2 h ⇒ h = 8.

Objętość tego stożka to różnica objętości ’dużego’ stożka o wysokości H i promieniu podstawy 10 oraz mniejszego o wysokości H − 8 i promieniu podstawy 7. Aby wyliczyć H popatrzmy na przekrój osiowy otrzymanej figury. Z podobieństwa trójkątów ABC i DEC mamy

10 H ---= ------ 7 H − 8 10(H − 8) = 7H 3H = 80 80- H = 3 .

Liczymy teraz szukaną objętość

1 ( 80 ( 80 ) ) V = --π 102 ⋅---− 72 ⋅ ---− 8 = 3 ( 3 3 ) 1- 80- = 3 π (100− 49)⋅ 3 + 49 ⋅8 = = 1-π(1 7⋅80 + 4 9⋅8) = 3 8 = --π(1 7⋅10 + 4 9) = 3 = 8-π ⋅219 = 584π . 3

 
Odpowiedź: 584 π cm 3

Wersja PDF