/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Zadania na ekstremum

Zadanie nr 2062444

Wyznacz współrzędne punktu leżącego na wykresie funkcji 2 y = 7x− x − 15 , dla którego suma odległości od osi układu współrzędnych jest najmniejsza.

Rozwiązanie

Możemy rozpocząć od szkicowego rysunku – parabola 2 y = −x + 7x − 15 ma wierzchołek w punkcie

( ) ( ) (xw,yw ) = − b-,− -Δ- = 7,− 11- 2a 4a 2 4

i ma ramiona skierowane w dół.

Ponieważ Δ = − 11 < 0 parabola znajduje się w całości pod osią i suma odległości punktu P = (x,y) tej paraboli od osi układu jest równa

f(x) = |x| + |y| = |x |− y = 2 = |x| − (−x + 7x − 15) = = x 2 − 7x + |x |+ 15 = { x2 − 7x + x + 15 dla x ≥ 0 = 2 { x − 7x − x + 15 dla x < 0 x2 − 6x + 15 dla x ≥ 0 = x2 − 8x + 15 dla x < 0.

Pozostało wyznaczyć wartość najmniejszą tej funkcji. Pierwszy wzór osiąga najmniejszą wartość dla x = 3 i jest ona równa 9 − 18 + 15 = 6 . Drugi wzór osiąga najmniejszą wartość dla x = 4 , ale punkt ten jest na prawo od x = 0 , więc funkcja ta jest malejąca na przedziale (− ∞ ,0⟩ . Zatem najmniejsza możliwa wartość drugiego wzoru to wartość w x = 0 , czyli 15.